Question

用 $4$ 个白色单位立方体和 $4$ 个蓝色单位立方体构造一个 $2 \times 2 \times 2$ 立方体。有多少种不同构造方法？若一种构造经旋转后能与另一种重合，则二者视为相同。

A cube is constructed from $4$ white unit cubes and $4$ blue unit cubes. How many different ways are there to construct the $2 \times 2 \times 2$ cube using these smaller cubes? (Two constructions are considered the same if one can be rotated to match the other.)

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：A

知识点：伯恩赛德引理正方体

难度评级：1860

解答：

问题等价于选择哪 $4$ 个位置涂蓝，位置总数为 $8$ ，并对立方体的 $24$ 个旋转使用 Burnside 引理。

恒等旋转固定 $\binom84=70$ 种染色。 $6$ 个绕面中心轴的四分之一转各固定 $2$ 种； $3$ 个绕面中心轴的半转各固定 $6$ 种； $8$ 个绕相对顶点轴的旋转各固定 $4$ 种； $6$ 个绕相对棱中点轴的半转各固定 $6$ 种。

因此不等价构造数为 $\begin{gathered} \frac{70+6\cdot2+3\cdot6+8\cdot4+6\cdot6}{24}\\ =7. \end{gathered}$

所以正确答案是 A。

This is the number of ways to choose which $4$ of the $8$ cube vertices are blue, up to cube rotation. Use Burnside's lemma on the $24$ rotations of the cube.

The identity fixes $\binom84=70$ colorings. The $6$ quarter-turn face rotations each fix $2.$ The $3$ half-turn face rotations each fix $6.$ The $8$ rotations about opposite vertices each fix $4.$ The $6$ half-turn rotations about opposite edges each fix $6.$

Thus the number of inequivalent constructions is $\begin{gathered} \frac{70+6\cdot2+3\cdot6+8\cdot4+6\cdot6}{24}\\ =7. \end{gathered}$

Thus, the answer is A .

2021 AMC 10B Fall 第 24 题

答案：A

难度评级：1860

解答：

其他年份的第 24 题