Question

一个立方体的 $12$ 条棱各被标为 $0$ 或 $1$ 。即使一个标法可由另一个标法通过一次或多次旋转和/或反射得到，这两个标法仍视为不同。有多少种这样的标法，使得立方体 $6$ 个面中每个面的四条边标签和都等于 $2$ ？

Each of the $12$ edges of a cube is labeled $0$ or $1.$ Two labelings are considered different even if one can be obtained from the other by a sequence of one or more rotations and/or reflections. For how many such labelings is the sum of the labels on the edges of each of the $6$ faces of the cube equal to $2?$

$8$

$10$

$12$

$16$

$20$

答案：E

知识点：有限制的排列正方体分类讨论

难度评级：2390

解答：

先标记一个面为 $ABCD$ 。每个面必须包含两个 $0$ 和两个 $1$ ，所以先按 $ABCD$ 四条棱的标签模式分类。

情形一： $ABCD$ 的相对棱标签相同。 $ABCD$ 上有 $2$ 种这样的模式；任选一条竖直棱（如 $AE$ ）的标签后，其余标签都被确定。因此共有 $2\cdot2=4$ 种标法。

情形二： $ABCD$ 的相对棱标签不同。 $ABCD$ 上有 $4$ 种这样的模式；对每种模式，相邻两条竖直棱的标签有 $4$ 种选择，其余标签随即确定。因此共有 $4\cdot4=16$ 种标法。

总数为 $4+16=20$ 。

所以正确答案是 E。

Label one face $ABCD.$ Each face must contain two $0$ s and two $1$ s, so first split by the pattern on the four edges of $ABCD.$

Case 1: opposite edges of $ABCD$ have the same label. There are $2$ such patterns on $ABCD.$ For either pattern, once the label of one vertical edge, say $AE,$ is chosen, the face-sum conditions force all remaining labels. This gives $2\cdot2=4$ labelings.

Case 2: opposite edges of $ABCD$ have different labels. There are $4$ such patterns on $ABCD.$ For each, the labels of two adjacent vertical edges may be chosen in $4$ ways, and then the remaining labels are forced by the face-sum conditions. This gives $4\cdot4=16$ labelings.

The total is $4+16=20.$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 24 题

答案：E

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 24 题