Question

设 $n$ 为大于 $1000$ 的最小正整数，满足且 $n$ 的各位数字之和是多少？ $\begin{gathered} \gcd(63,n+120)=21\\ \text{and}\\ \gcd(n+63,120)=60. \end{gathered}$

Let $n$ be the least positive integer greater than $1000$ for which $\begin{gathered} \gcd(63,n+120)=21\\ \text{and}\\ \gcd(n+63,120)=60. \end{gathered}$ What is the sum of the digits of $n?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

答案：C

知识点：最大公约数中国剩余定理模运算

难度评级：1820

视频讲解：

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文字解答：

第一条给出 $n+120\equiv0\pmod{21}$ ，即 $n\equiv6\pmod{21}$ ，但 $n+120$ 不能被 $63$ 整除。第二条给出 $n+63\equiv0\pmod{60}$ ，即 $n\equiv57\pmod{60}$ ，但 $n+63$ 不能被 $120$ 整除。

联立 $n\equiv6\pmod{21}$ 和 $n\equiv57\pmod{60}$ ，得 $n\equiv237\pmod{420}$ 。大于 $1000$ 的候选为 $1077,1497,1917,\ldots$ 。第一个不满足第一条最大公因数条件，第二个不满足第二条， $1917$ 满足。数字和为 $18$ 。正确答案是 C。

The first gcd condition gives $n+120\equiv0\pmod{21}$ , so $n\equiv6\pmod{21}$ , but $n+120$ must not be divisible by $63$ . The second gives $n+63\equiv0\pmod{60}$ , so $n\equiv57\pmod{60}$ , but $n+63$ must not be divisible by $120$ .

Solving $n\equiv6\pmod{21}$ and $n\equiv57\pmod{60}$ gives $n\equiv237\pmod{420}$ . The candidates above $1000$ are $1077,1497,1917,\ldots$ . The first fails the first gcd condition, the second fails the second gcd condition, and $1917$ works. The digit sum is $18$ . Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 24 题

答案：C

难度评级：1820

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