2014 AMC 10A 第 24 题

Question

一个自然数序列按如下方式构造：先列出前

4

个数，然后跳过一个数；再列出接下来的

5

个数，跳过

2

个数；再列出

6

个数，跳过

3

个数；在第

n

次迭代中，列出

n+3

个数并跳过

n

个数。该序列开头为

1,2,3,4,6,7,8,9,10,13\text{。}

这个序列的第

500{,}000

个数是多少？

A sequence of natural numbers is constructed by listing the first

4,

then skipping one, listing the next

5,

skipping

2,

listing

6,

skipping

3,

and on the

n

th iteration, listing

n+3

and skipping

n.

The sequence begins

1,2,3,4,6,7,8,9,10,13.

What is the

500{,}000

th number in the sequence?

996,

\!506

996,

\!507

996,

\!508

996,

\!509

996,

\!510

答案：A

知识点：等差数列求和三角形数

难度评级：1790

小提示：

计算完整

n

次迭代后已经列出了多少项。

Count how many terms have been listed after

n

full iterations

大提示：

再把目标项定位到下一段列出的数中。

Then locate the desired term inside the next listed block

解答：

完整

n

次迭代后，列出的项数为

4+5+\cdots+(n+3)=\frac{n(n+7)}2

。

需要最大的

n

使

\frac{n(n+7)}2<500000

。因为

996\cdot1003=998988

，所以

996

次迭代后列出了

499494

项。

第

997

次迭代列出的第一个数，是此前所有列出和跳过的数的总数再加一，即

996^2+4\cdot996+1=996001

。

第

500000

个列出的数，是下一段中的第

500000-499494=506

个数，所以它是

996001+505=996506

。

所以正确答案是 A。

After

n

full iterations, the number of listed terms is

4+5+\cdots+(n+3)=\frac{n(n+7)}2

.

We need the largest

n

with

\frac{n(n+7)}2<500000

. Since

996\cdot1003=998988

, after

996

iterations there are

499494

listed numbers.

The first number listed in iteration

997

is one more than the total of all listed and skipped numbers so far, namely

996^2+4\cdot996+1=996001

.

The

500000

th listed number is the

500000-499494=506

th number of this next block, so it is

996001+505=996506

.

Thus, A is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 24 题

答案：A

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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