Question

一个自然数序列按如下方式构造：先列出前 $4$ 个数，然后跳过一个数；再列出接下来的 $5$ 个数，跳过 $2$ 个数；再列出 $6$ 个数，跳过 $3$ 个数；在第 $n$ 次迭代中，列出 $n+3$ 个数并跳过 $n$ 个数。该序列开头为这个序列的第 $500,000$ 个数是多少？ $1,2,3,4,6,7,8,9,10,13.$

A sequence of natural numbers is constructed by listing the first $4,$ then skipping one, listing the next $5,$ skipping $2,$ listing $6,$ skipping $3,$ and on the $n$ th iteration, listing $n+3$ and skipping $n.$ The sequence begins $1,2,3,4,6,7,8,9,10,13.$ What is the $500,000$ th number in the sequence?

$996,\!506$

$996,\!507$

$996,\!508$

$996,\!509$

$996,\!510$

答案：A

知识点：等差数列求和三角形数

难度评级：1790

解答：

完整 $n$ 次迭代后，列出的项数为 $4+5+\cdots+(n+3)=\frac{n(n+7)}2$ 。

需要最大的 $n$ 使 $\frac{n(n+7)}2<500000$ 。因为 $996\cdot1003=998988$ ，所以 $996$ 次迭代后列出了 $499494$ 项。

第 $997$ 次迭代列出的第一个数，是此前所有列出和跳过的数的总数再加一，即 $996^2+4\cdot996+1=996001$ 。

第 $500000$ 个列出的数，是下一段中的第 $500000-499494=506$ 个数，所以它是 $996001+505=996506$ 。

所以正确答案是 A。

After $n$ full iterations, the number of listed terms is $4+5+\cdots+(n+3)=\frac{n(n+7)}2$ .

We need the largest $n$ with $\frac{n(n+7)}2<500000$ . Since $996\cdot1003=998988$ , after $996$ iterations there are $499494$ listed numbers.

The first number listed in iteration $997$ is one more than the total of all listed and skipped numbers so far, namely $996^2+4\cdot996+1=996001$ .

The $500000$ th listed number is the $500000-499494=506$ th number of this next block, so it is $996001+505=996506$ .

Thus, A is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 24 题

答案：A

难度评级：1790

解答：

其他年份的第 24 题