2011 AMC 10B 第 24 题

Question

在

xy

坐标系中，格点是指

(x, y)

中

x

和

y

都为整数的点。直线

y = mx +2

不经过任何满足

0 < x \le 100

的格点，且对所有

m

，若

\frac{1}{2} < m < a

，这一结论都成立。

a

的最大可能值是多少？

A lattice point in an

xy

-coordinate system is any point

(x, y)

where both

x

and

y

are integers. The graph of

y = mx +2

passes through no lattice point with

0 < x \le 100

for all

m

such that

\frac{1}{2} < m < a.

What is the maximum possible value of

a?

\dfrac{51}{101}

\dfrac{50}{99}

\dfrac{51}{100}

\dfrac{52}{101}

\dfrac{13}{25}

答案：B

知识点：格点斜率奇偶性

难度评级：2350

小提示：

当

mx

为整数时，向下平移

2

后的直线会经过格点。

A lattice point occurs when

mx

is an integer after shifting down by

2

大提示：

检查大于

\frac{x}{2}

的最小整数，其中

1\le x\le100

。

Check the nearest integer above

\frac{x}{2}

for each

1\le x\le100

解答：

将图像下移

2

。问题等价于找最小的

m\gt\dfrac12

，使直线

y=mx

经过某个满足

0\lt x\le100

的格点。

对固定整数

x

，最小整数

y

必须满足

\frac{y}{x}\gt\frac{1}{2}

。它为

\frac{x}{2}+1

（若

x

为偶数），以及

\frac{x+1}{2}

（若

x

为奇数）。

候选斜率为

\dfrac12+\dfrac1x

（当

x

为偶数），在

x=100

时最小为

\dfrac{51}{100}

。候选斜率为

\dfrac12+\dfrac1{2x}

（若

x

为奇数），在

x=99

时最小为

\dfrac{50}{99}

。

两类中较小的端点是

\dfrac{50}{99}

。因此当

m

满足

\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99}

时不会经过这些格点，而这个上端点已经是可能的最大值。

所以正确答案是 B。

Shift the graph down by

2

. The problem is equivalent to finding the smallest slope

m\gt\dfrac12

for which

y=mx

passes through a lattice point with

0\lt x\le100

.

For a fixed integer

x

, the smallest integer

y

with

\frac{y}{x}\gt\frac{1}{2}

is

\frac{x}{2}+1

when

x

is even, and

\frac{x+1}{2}

when

x

is odd.

Thus the candidate slopes are

\dfrac12+\dfrac1x

for even

x

, minimized at

x=100

as

\dfrac{51}{100}

, and

\dfrac12+\dfrac1{2x}

for odd

x

, minimized at

x=99

as

\dfrac{50}{99}

.

The smaller of these is

\dfrac{50}{99}

, so every

m

with

\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99}

avoids such lattice points, and this upper endpoint is best possible.

Thus, B is the correct answer.

2011 AMC 10B 第 24 题

答案：B

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

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