2009 AMC 10A 第 24 题

Question

从一个立方体的顶点中随机选择三个不同顶点。由这三个顶点确定的平面包含立方体内部点的概率是多少？

Three distinct vertices of a cube are chosen at random. What is the probability that the plane determined by these three vertices contains points inside the cube?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{4}{7}

\dfrac{5}{7}

\dfrac{3}{4}

答案：C

知识点：补集计数正方体组合

难度评级：1860

小提示：

该平面避开内部，恰好发生在三个顶点都位于同一个面上时。

The plane avoids the interior exactly when all three vertices lie on one face

大提示：

计算同一面上的三顶点组合数，再从总数

\binom{8}{3}

中减去。

Count the same-face triples and subtract from the total

\binom{8}{3}

解答：

三个顶点确定的平面会穿过内部，除非这三个顶点都在同一个面上。

6

个面中每个面给出

\binom{4}{3} = 4

组三顶点，所以同一面上的共有

6 \cdot 4 = 24

组；总数为

\binom{8}{3} = 56

。

穿过内部的概率为

1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}\text{。}

所以正确答案是 C。

Three vertices determine a plane that cuts through the interior unless all three lie on a single face.

Each of the

6

faces gives

\binom{4}{3} = 4

triples, so

6 \cdot 4 = 24

triples lie on a face out of

\binom{8}{3} = 56

total.

The probability of hitting the interior is

1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}.

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 10A 第 24 题

答案：C

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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