Question

一个矩形地板尺寸为 $a$ 英尺乘 $b$ 英尺，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数且 $b\gt a$ 。一位艺术家在地板上画一个矩形，画出的矩形边与地板边平行。未涂色部分在画出的矩形周围形成宽 $1$ 英尺的边框，并占整个地板面积的一半。有多少个有序对 $(a,b)$ 满足条件？

A rectangular floor measures $a$ feet by $b$ feet, where $a$ and $b$ are positive integers with $b\gt a.$ An artist paints a rectangle on the floor with the sides of the rectangle parallel to the sides of the floor. The unpainted part of the floor forms a border of width $1$ foot around the painted rectangle and occupies half the area of the entire floor. How many possibilities are there for the ordered pair $(a,b)?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：B

知识点：西蒙最爱的因式分解技巧丢番图方程面积

难度评级：1580

解答：

被涂色矩形为 $(a-2)\times(b-2)$ ，且是地板面积的一半，所以 $ab=2(a-2)(b-2)$ 。

展开得 $0=ab-4a-4b+8$ ，两边加 $8$ 得 $(a-4)(b-4)=8$ 。

在 $b\gt a\gt 0$ 下，分解 $8=1\cdot 8=2\cdot 4$ ，得到 $(a,b)=(5,12)$ 和 $(6,8)$ ，所以共有 $2$ 种可能。

所以正确答案是 B。

The painted rectangle is $(a-2)\times(b-2),$ and it is half the floor, so $ab=2(a-2)(b-2).$

Expanding gives $0=ab-4a-4b+8,$ and adding $8$ yields $(a-4)(b-4)=8.$

With $b\gt a\gt 0,$ the factorizations $8=1\cdot 8=2\cdot 4$ give $(a,b)=(5,12)$ and $(6,8).$ So there are $2$ possibilities.

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10B 第 23 题

答案：B

难度评级：1580

解答：

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