2008 AMC 10B 第 23 题

Question

一个矩形地板尺寸为

a

英尺乘

b

英尺，其中

a

和

b

是正整数且

b\gt a

。一位艺术家在地板上画一个矩形，画出的矩形边与地板边平行。未涂色部分在画出的矩形周围形成宽

1

英尺的边框，并占整个地板面积的一半。有多少个有序对

(a,b)

满足条件？

A rectangular floor measures

a

feet by

b

feet, where

a

and

b

are positive integers with

b\gt a.

An artist paints a rectangle on the floor with the sides of the rectangle parallel to the sides of the floor. The unpainted part of the floor forms a border of width

1

foot around the painted rectangle and occupies half the area of the entire floor. How many possibilities are there for the ordered pair

(a,b)?

1

2

3

4

5

答案：B

知识点：西蒙最爱的因式分解技巧丢番图方程面积

难度评级：1580

小提示：

被涂色的矩形尺寸为

(a-2)

乘

(b-2)

，面积是

ab

的一半。

The painted rectangle measures

(a-2)

by

(b-2),

and its area is half of

ab

大提示：

由

ab=2(a-2)(b-2)

，整理为

(a-4)(b-4)=8

。

From

ab=2(a-2)(b-2),

rearrange to

(a-4)(b-4)=8

解答：

被涂色矩形为

(a-2)\times(b-2)

，且是地板面积的一半，所以

ab=2(a-2)(b-2)

。

展开得

0=ab-4a-4b+8

，两边加

8

得

(a-4)(b-4)=8

。

在

b\gt a\gt 0

下，分解

8=1\cdot 8=2\cdot 4

，得到

(a,b)=(5,12)

和

(6,8)

，所以共有

2

种可能。

所以正确答案是 B。

The painted rectangle is

(a-2)\times(b-2),

and it is half the floor, so

ab=2(a-2)(b-2).

Expanding gives

0=ab-4a-4b+8,

and adding

8

yields

(a-4)(b-4)=8.

With

b\gt a\gt 0,

the factorizations

8=1\cdot 8=2\cdot 4

give

(a,b)=(5,12)

and

(6,8).

So there are

2

possibilities.

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10B 第 23 题

答案：B

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

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