2008 AMC 10A 第 24 题

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24.

令

k = 2008^2 + 2^{2008}

。

k^2 + 2^k

的个位数字是多少？

Let

k = 2008^2 + 2^{2008}.

What is the units digit of

k^2 + 2^k?

0

2

4

6

8

答案：D

知识点：个位数字模运算找规律

难度评级：1910

小提示：

先求

k

的个位数字。

Find the units digit of

k

first

大提示：

2^{2008}

个位为

6

，

2008^2

个位为

4

；再求

k \bmod 4

来处理

2^k

。

2^{2008}

ends in

6

and

2008^2

ends in

4;

then determine

k \bmod 4

to handle

2^k

解答：

2^n

的个位数字按

2, 4, 8, 6

循环，所以

2^{2008}

个位为

6

。另外

2008^2

的个位为

4

。

因此

k

的个位为

0

，所以

k^2

的个位为

0

。

又因为

2008^2

和

2^{2008}

都是

4

的倍数，所以

k \equiv 0 \pmod 4

，从而

2^k

的个位为

6

。

所以

k^2 + 2^k

的个位数字为

0 + 6 = 6

。

所以正确答案是 D。

The units digit of

2^n

cycles

2, 4, 8, 6,

so

2^{2008}

ends in

6.

Also

2008^2

ends in

4.

Thus

k

ends in

0,

so

k^2

ends in

0.

Both

2008^2

and

2^{2008}

are multiples of

4,

so

k \equiv 0 \pmod 4,

which makes

2^k

end in

6.

The units digit of

k^2 + 2^k

is

0 + 6 = 6.

Thus, the correct answer is D.