Question

如图，以 $A$ 和 $B$ 为圆心的圆半径均为 $2$ ，点 $O$ 是 $\overline{AB}$ 的中点，且 $OA = 2\sqrt{2}$ 。线段 $OC$ 和 $OD$ 分别与以 $A$ 和 $B$ 为圆心的圆相切， $\overline{EF}$ 是一条公切线。阴影区域 $ECODF$ 的面积是多少？

Circles centered at $A$ and $B$ each have radius $2,$ as shown. Point $O$ is the midpoint of $\overline{AB},$ and $OA = 2\sqrt{2}.$ Segments $OC$ and $OD$ are tangent to the circles centered at $A$ and $B,$ respectively, and $\overline{EF}$ is a common tangent. What is the area of the shaded region $ECODF?$

$\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$

$8\sqrt{2} - 4 - \pi$

$4\sqrt{2}$

$4\sqrt{2} + \dfrac{\pi}{8}$

$8\sqrt{2} - 2 - \dfrac{\pi}{2}$

答案：B

知识点：切线扇形面积分割

难度评级：1960

解答：

矩形 $ABFE$ 面积为 $AE \cdot AB = 2 \cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2$ 。

直角三角形 $ACO$ 和 $BDO$ 的斜边均为 $2\sqrt2$ ，且一条直角边为 $2$ ，所以每个都是面积为 $2$ 的等腰直角三角形。

角 $CAE$ 和 $DBF$ 都是 $45^\circ$ ，所以扇形 $CAE$ 和 $DBF$ 的面积各为 $\tfrac18 \pi \cdot 2^2 = \tfrac{\pi}{2}$ 。

阴影面积为 $\begin{gathered} 8\sqrt2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot \tfrac{\pi}{2} \\ = 8\sqrt2 - 4 - \pi. \end{gathered}$

所以正确答案是 B。

Rectangle $ABFE$ has area $AE \cdot AB = 2 \cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2.$

Right triangles $ACO$ and $BDO$ each have hypotenuse $2\sqrt2$ and a leg of $2,$ so each is isosceles right with area $2.$

Angles $CAE$ and $DBF$ are each $45^\circ,$ so sectors $CAE$ and $DBF$ each have area $\tfrac18 \pi \cdot 2^2 = \tfrac{\pi}{2}.$

The shaded area is $\begin{gathered} 8\sqrt2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot \tfrac{\pi}{2} \\ = 8\sqrt2 - 4 - \pi. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 10A 第 24 题

答案：B

难度评级：1960

解答：

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