2007 AMC 10A 第 24 题

Question

如图，以

A

和

B

为圆心的圆半径均为

2

，点

O

是

\overline{AB}

的中点，且

OA = 2\sqrt{2}

。线段

OC

和

OD

分别与以

A

和

B

为圆心的圆相切，

\overline{EF}

是一条公切线。阴影区域

ECODF

的面积是多少？

Circles centered at

A

and

B

each have radius

2,

as shown. Point

O

is the midpoint of

\overline{AB},

and

OA = 2\sqrt{2}.

Segments

OC

and

OD

are tangent to the circles centered at

A

and

B,

respectively, and

\overline{EF}

is a common tangent. What is the area of the shaded region

ECODF?

\dfrac{8\sqrt{2}}{3}

8\sqrt{2} - 4 - \pi

4\sqrt{2}

4\sqrt{2} + \dfrac{\pi}{8}

8\sqrt{2} - 2 - \dfrac{\pi}{2}

答案：B

知识点：切线扇形面积分割

难度评级：1960

小提示：

该区域等于矩形

ABFE

去掉两个直角三角形和两个圆扇形。

The region is rectangle

ABFE

with two right triangles and two circular sectors removed

大提示：

每个由切点形成的三角形都是直角边为

2

的等腰直角三角形；每个扇形的圆心角为

45^\circ

、半径为

2

。

Each triangle formed by tangency is isosceles right with legs

2;

each sector has a

45^\circ

angle and radius

2

解答：

矩形

ABFE

面积为

AE \cdot AB = 2 \cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2

。

直角三角形

ACO

和

BDO

的斜边均为

2\sqrt2

，且一条直角边为

2

，所以每个都是面积为

2

的等腰直角三角形。

角

CAE

和

DBF

都是

45^\circ

，所以扇形

CAE

和

DBF

的面积各为

\tfrac18 \pi \cdot 2^2 = \tfrac{\pi}{2}

。

阴影面积为

\begin{gathered} 8\sqrt2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot \tfrac{\pi}{2} \\ = 8\sqrt2 - 4 - \pi \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 B。

Rectangle

ABFE

has area

AE \cdot AB = 2 \cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2.

Right triangles

ACO

and

BDO

each have hypotenuse

2\sqrt2

and a leg of

2,

so each is isosceles right with area

2.

Angles

CAE

and

DBF

are each

45^\circ,

so sectors

CAE

and

DBF

each have area

\tfrac18 \pi \cdot 2^2 = \tfrac{\pi}{2}.

The shaded area is

\begin{gathered} 8\sqrt2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot \tfrac{\pi}{2} \\ = 8\sqrt2 - 4 - \pi. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 10A 第 24 题

答案：B

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

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