Question

圆心分别为 $O$ 和 $P$ 的两个圆半径为 $2$ 和 $4$ ，且外切。点 $A$ 和 $B$ 在圆心为 $O$ 的圆上，点 $C$ 和 $D$ 在圆心为 $P$ 的圆上，使得 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$ 是两圆的公外切线。凹六边形 $AOBCPD$ ？的面积是多少？

Circles with centers at $O$ and $P$ have radii $2$ and $4,$ respectively, and are externally tangent. Points $A$ and $B$ on the circle with center $O$ and points $C$ and $D$ on the circle with center $P$ are such that $\overline{AD}$ and $\overline{BC}$ are common external tangents to the circles. What is the area of the concave hexagon $AOBCPD?$

$18\sqrt{3}$

$24\sqrt{2}$

$36$

$24\sqrt{3}$

$32\sqrt{2}$

答案：B

知识点：相切圆梯形直角三角形

难度评级：2010

解答：

这个六边形关于 $\overline{OP}$ 对称，所以其面积是梯形 $AOPD$ 面积的两倍。

作 $OF\parallel AD$ ，其中 $F$ 在 $\overline{PD}$ 上。则 $AOFD$ 是矩形，所以 $DF=OA=2$ ，且 $FP=PD-DF=4-2=2$ 。

由于两圆外切， $OP=2+4=6$ ，所以在直角三角形 $OFP$ 中， $OF=\sqrt{36-4}=4\sqrt2$ 。

梯形 $AOPD$ 的平行边为 $OA=2$ 和 $PD=4$ ，高为 $OF=4\sqrt2$ ，面积为 $\tfrac12(2+4)(4\sqrt2)=12\sqrt2$ 。六边形面积为 $2\cdot12\sqrt2=24\sqrt2$ 。

所以正确答案是 B。

The hexagon is symmetric about $\overline{OP},$ so its area is twice that of trapezoid $AOPD.$

Draw $OF\parallel AD$ with $F$ on $\overline{PD}.$ Then $AOFD$ is a rectangle, so $DF=OA=2$ and $FP=PD-DF=4-2=2.$

Since the circles are externally tangent, $OP=2+4=6,$ so in right triangle $OFP,$ $OF=\sqrt{36-4}=4\sqrt2.$

Trapezoid $AOPD$ has parallel sides $OA=2$ and $PD=4$ with height $OF=4\sqrt2,$ giving area $\tfrac12(2+4)(4\sqrt2)=12\sqrt2.$ The hexagon area is $2\cdot12\sqrt2=24\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10B 第 24 题

答案：B

难度评级：2010

解答：

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