2006 AMC 10B 第 24 题

Question

圆心分别为

O

和

P

的两个圆半径为

2

和

4

，且外切。点

A

和

B

在圆心为

O

的圆上，点

C

和

D

在圆心为

P

的圆上，使得

\overline{AD}

和

\overline{BC}

是两圆的公外切线。凹六边形

AOBCPD

的面积是多少？

Circles with centers at

O

and

P

have radii

2

and

4,

respectively, and are externally tangent. Points

A

and

B

on the circle with center

O

and points

C

and

D

on the circle with center

P

are such that

\overline{AD}

and

\overline{BC}

are common external tangents to the circles. What is the area of the concave hexagon

AOBCPD?

18\sqrt{3}

24\sqrt{2}

36

24\sqrt{3}

32\sqrt{2}

答案：B

知识点：相切圆梯形直角三角形

难度评级：2010

小提示：

作

OF\parallel AD

，交

PD

于

F

，形成一个矩形和一个直角三角形。

Draw

OF\parallel AD

meeting

PD

at

F

to form a rectangle and a right triangle

大提示：

此时

DF=2

、

FP=2

，且

OF=\sqrt{OP^2-FP^2}

，其中

OP=6

。

Then

DF=2,

FP=2,

and

OF=\sqrt{OP^2-FP^2}

with

OP=6

解答：

这个六边形关于

\overline{OP}

对称，所以其面积是梯形

AOPD

面积的两倍。

作

OF\parallel AD

，其中

F

在

\overline{PD}

上。则

AOFD

是矩形，所以

DF=OA=2

，且

FP=PD-DF=4-2=2

。

由于两圆外切，

OP=2+4=6

，所以在直角三角形

OFP

中，

OF=\sqrt{36-4}=4\sqrt2

。

梯形

AOPD

的平行边为

OA=2

和

PD=4

，高为

OF=4\sqrt2

，面积为

\tfrac12(2+4)(4\sqrt2)=12\sqrt2

。六边形面积为

2\cdot12\sqrt2=24\sqrt2

。

所以正确答案是 B。

The hexagon is symmetric about

\overline{OP},

so its area is twice that of trapezoid

AOPD.

Draw

OF\parallel AD

with

F

on

\overline{PD}.

Then

AOFD

is a rectangle, so

DF=OA=2

and

FP=PD-DF=4-2=2.

Since the circles are externally tangent,

OP=2+4=6,

so in right triangle

OFP,

OF=\sqrt{36-4}=4\sqrt2.

Trapezoid

AOPD

has parallel sides

OA=2

and

PD=4

with height

OF=4\sqrt2,

giving area

\tfrac12(2+4)(4\sqrt2)=12\sqrt2.

The hexagon area is

2\cdot12\sqrt2=24\sqrt2.

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10B 第 24 题

答案：B

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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