2004 AMC 10B 第 24 题

Question

在

\triangle ABC

中，

AB = 7

、

AC = 8

、

BC = 9

。点

D

在三角形的外接圆上，使得

\overline{AD}

平分

\angle BAC

。求

\frac{AD}{CD}

。

In

\triangle ABC

we have

AB = 7,

AC = 8,

and

BC = 9.

Point

D

is on the circumscribed circle of the triangle so that

\overline{AD}

bisects

\angle BAC.

What is the value of

\frac{AD}{CD}?

\dfrac{9}{8}

\dfrac{5}{3}

2

\dfrac{17}{7}

\dfrac{5}{2}

答案：B

知识点：圆周角相似角平分线定理

难度评级：2030

小提示：

设

\overline{AD}

交

\overline{BC}

于

E

；圆周角定理给出

\angle ABE = \angle ADC

。

Let

\overline{AD}

meet

\overline{BC}

at

E;

inscribed angles give

\angle ABE = \angle ADC

大提示：

三角形

ABE

与三角形

ADC

相似，所以

\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BE}

；再由角平分线定理求

BE

。

Triangles

ABE

and

ADC

are similar, so

\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BE};

find

BE

from the Angle Bisector Theorem

解答：

设

\overline{AD}

交

\overline{BC}

于

E

。因为

\angle ABC

与

\angle ADC

截同弧，所以它们相等；又有

\angle EAB = \angle CAD

，因此

\triangle ABE \sim \triangle ADC

。

因此

\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}

。

由角平分线定理，

\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC}

，所以

BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}

。

因此

\begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 B。

Let

\overline{AD}

meet

\overline{BC}

at

E.

Since

\angle ABC

and

\angle ADC

subtend the same arc, they are equal, and

\angle EAB = \angle CAD,

so

\triangle ABE \sim \triangle ADC.

Hence

\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}.

By the Angle Bisector Theorem,

\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC},

so

BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}.

Therefore

\begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10B 第 24 题

答案：B

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

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