Question

在梯形 $ABCD$ 中， $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 都垂直于 $\overline{AD}$ ，且 $AB+CD=BC$ 、 $AB\lt CD$ 、 $AD=7$ 。求 $AB\cdot CD$ 。

In trapezoid $ABCD,$ $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are perpendicular to $\overline{AD},$ with $AB+CD=BC,$ $AB\lt CD,$ and $AD=7.$ What is $AB\cdot CD?$

$12$

$12.25$

$12.5$

$12.75$

$13$

答案：B

知识点：梯形勾股定理平方差

难度评级：1810

解答：

从 $B$ 向 $CD$ 作垂线，交于 $E$ 。于是 $BE=AD=7$ ， $CE=CD-AB$ ，并且 $BC^2=BE^2+CE^2$ 。

又因为 $BC=CD+AB$ ，所以 $\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49. \end{aligned}$

左边等于 $4\cdot AB\cdot CD$ ，因此 $AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25$ 。

所以正确答案是 B。

Drop a perpendicular from $B$ to $CD,$ meeting it at $E.$ Then $BE=AD=7$ and $CE=CD-AB.$ By the Pythagorean theorem, $BC^2=BE^2+CE^2.$

Since $BC=CD+AB,$ $\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49. \end{aligned}$

The left side equals $4\cdot AB\cdot CD,$ so $AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25.$

Thus, the correct answer is B.

2001 AMC 10 第 24 题

答案：B

难度评级：1810

解答：

其他年份的第 24 题