2001 AMC 10 第 24 题

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24.

在梯形

ABCD

中，

\overline{AB}

和

\overline{CD}

都垂直于

\overline{AD}

，且

AB+CD=BC

、

AB\lt CD

、

AD=7

。求

AB\cdot CD

。

In trapezoid

ABCD,

\overline{AB}

and

\overline{CD}

are perpendicular to

\overline{AD},

with

AB+CD=BC,

AB\lt CD,

and

AD=7.

What is

AB\cdot CD?

12

12.25

12.5

12.75

13

答案：B

知识点：梯形勾股定理平方差

难度评级：1810

小提示：

从

B

向

CD

作垂线，垂足为

E

；则

BE=AD=7

，

CE=CD-AB

。

Drop a perpendicular from

B

to

CD

at

E;

then

BE=AD=7

and

CE=CD-AB

大提示：

用

BC^2=BE^2+CE^2

，并且

BC=CD+AB

。

BC^2=BE^2+CE^2

with

BC=CD+AB

解答：

从

B

向

CD

作垂线，交于

E

。于是

BE=AD=7

，

CE=CD-AB

，并且

BC^2=BE^2+CE^2

。

又因为

BC=CD+AB

，所以

\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49 \end{aligned}\text{。}

左边等于

4\cdot AB\cdot CD

，因此

AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25

。

所以正确答案是 B。

Drop a perpendicular from

B

to

CD,

meeting it at

E.

Then

BE=AD=7

and

CE=CD-AB.

By the Pythagorean theorem,

BC^2=BE^2+CE^2.

Since

BC=CD+AB,

\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49. \end{aligned}

The left side equals

4\cdot AB\cdot CD,

so

AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25.

Thus, the correct answer is B.