Question

半径为 $6$ 、圆心为点 $A$ 的圆 $\omega_1$ 在点 $B$ 处与半径为 $15$ 的圆 $\omega_2$ 内切。点 $C$ 和 $D$ 在 $\omega_2$ 上，且 $\overline{BC}$ 是 $\omega_2$ 的直径，并且 $\overline{BC} \perp \overline{AD}$ 。矩形 $EFGH$ 内接于 $\omega_1$ ，满足 $\overline{EF} \perp \overline{BC}$ ， $C$ 比起 $\overline{EF}$ ，更靠近 $\overline{GH}$ ，且 $D$ 比起 $\overline{EH}$ ，更靠近 $\overline{FG}$ ，如图所示。三角形 $\triangle DGF$ 和 $\triangle CHG$ 面积相等。矩形 $EFGH$ 的面积为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

Circle $\omega_1$ with radius $6$ centered at point $A$ is internally tangent at point $B$ to circle $\omega_2$ with radius $15.$ Points $C$ and $D$ lie on $\omega_2$ such that $\overline{BC}$ is a diameter of $\omega_2$ and $\overline{BC} \perp \overline{AD}.$ The rectangle $EFGH$ is inscribed in $\omega_1$ such that $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ $C$ is closer to $\overline{GH}$ than to $\overline{EF},$ and $D$ is closer to $\overline{FG}$ than to $\overline{EH},$ as shown. Triangles $\triangle DGF$ and $\triangle CHG$ have equal areas. The area of rectangle $EFGH$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：293

知识点：坐标几何相切圆矩形三角形面积

难度评级：2650

解答：

令 $\omega_2$ 的圆心为原点，并取 $B = (15, 0)$ 。在 $B$ 处内切可得 $A = (9, 0)$ ，且 $C = (-15, 0)$ 。因为 $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ 且 $D$ 在 $\omega_2$ 上，所以 $D = (9, 12)$ （取图中在线上方的 $D$ ）。由于 $\overline{EF} \perp \overline{BC}$ ，矩形有竖直边，因此顶点为 $(9 \pm a, \pm b)$ ，其中 $a^2 + b^2 = 36$ 。关于 $C$ 和 $D$ 的条件说明 $\overline{GH}$ 是左边， $\overline{FG}$ 是上边： $F = (9 + a, b)$ ， $G = (9 - a, b)$ ， $H = (9 - a, -b)$ ， $E = (9 + a, -b)$ 。

三角形 $DGF$ 的底边 $GF = 2a$ ，高为 $12 - b$ ，所以面积为 $a(12 - b)$ 。三角形 $CHG$ 的底边 $GH = 2b$ ，高为 $(9 - a) - (-15) = 24 - a$ ，所以面积为 $b(24 - a)$ 。令二者相等， $12a - ab = 24b - ab$ ，故 $a = 2b$ ，再由 $a^2 + b^2 = 5b^2 = 36$ 。

矩形面积为 $2a \cdot 2b = 8b^2 = \frac{288}{5}$ ，所以 $m + n = 288 + 5 = 293$ 。

Center $\omega_2$ at the origin with $B = (15, 0).$ Internal tangency at $B$ puts $A = (9, 0),$ and $C = (-15, 0).$ Since $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ and $D$ is on $\omega_2,$ we get $D = (9, 12)$ (taking $D$ above the line). Because $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ the rectangle has vertical sides, so its vertices are $(9 \pm a, \pm b)$ with $a^2 + b^2 = 36.$ The conditions on $C$ and $D$ make $\overline{GH}$ the left side and $\overline{FG}$ the top side: $F = (9 + a, b),$ $G = (9 - a, b),$ $H = (9 - a, -b),$ $E = (9 + a, -b).$

Triangle $DGF$ has base $GF = 2a$ and height $12 - b,$ so its area is $a(12 - b).$ Triangle $CHG$ has base $GH = 2b$ and height $(9 - a) - (-15) = 24 - a,$ so its area is $b(24 - a).$ Setting these equal, $12a - ab = 24b - ab,$ so $a = 2b,$ and then $a^2 + b^2 = 5b^2 = 36.$

The area of the rectangle is $2a \cdot 2b = 8b^2 = \frac{288}{5},$ so $m + n = 288 + 5 = 293.$

2025 AIME II 第 6 题

答案：293

难度评级：2650

解答：

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