Question

Alice 选择一个由正整数组成的集合 $A$ 。然后 Bob 列出所有有限非空正整数集合 $B$ ，这些集合满足 $B$ 的最大元素属于 $A$ 。Bob 的列表中有 $2024$ 个集合。求 $A$ 中元素之和。

Alice chooses a set $A$ of positive integers. Then Bob lists all finite nonempty sets $B$ of positive integers with the property that the maximum element of $B$ belongs to $A.$ Bob's list has $2024$ sets. Find the sum of the elements of $A.$

答案

答案：55

知识点：子集 2的幂进制

难度评级：2390

解答：

对固定的 $a \in A$ 最大元素为 $a$ 的集合 $B$ 由 $a$ 连同 $\{1, \ldots, a - 1\}$ 的一个任意子集组成，所以共有 $2^{a-1}$ 个。Bob 列表中的每个集合都会按其最大元素被恰好计数一次。因此 $\sum_{a \in A} 2^{a-1} = 2024.$

因为 $2024 = 2^{10} + 2^9 + 2^8 + 2^7$ $+ 2^6 + 2^5 + 2^3$ ，且这种表示唯一，所以 $A = \{11, 10, 9, 8, 7, 6, 4\}$ 。 $A$ 中元素之和为 $11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6$ $+ 4 = 55$ 。

For a fixed $a \in A,$ the sets $B$ with maximum element $a$ consist of $a$ together with an arbitrary subset of $\{1, \ldots, a - 1\},$ so there are $2^{a-1}$ of them, and every set on Bob's list is counted exactly once by its maximum. Hence $\sum_{a \in A} 2^{a-1} = 2024.$

Since $2024 = 2^{10} + 2^9 + 2^8 + 2^7$ $+ 2^6 + 2^5 + 2^3$ and binary representations are unique, $A = \{11, 10, 9, 8, 7, 6, 4\}.$ The sum of the elements of $A$ is $11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6$ $+ 4 = 55.$

2024 AIME II 第 6 题

答案：55

难度评级：2390

解答：

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