Question

对任意有限集合 $S$ ，令 $|S|$ 表示 $S$ 中元素的个数。求有序对 $(A, B)$ 的个数，其中 $A$ 和 $B$ 是 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的（不一定不同的）子集，并满足 $|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|.$

For any finite set $S,$ let $|S|$ denote the number of elements in $S.$ Find the number of ordered pairs $(A, B)$ such that $A$ and $B$ are (not necessarily distinct) subsets of $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ that satisfy $|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|.$

答案

答案：454

知识点：子集因式分解容斥原理

难度评级：2440

解答：

设 $a = |A|$ 、 $b = |B|$ 、 $i = |A \cap B|$ ，则 $|A \cup B| = a + b - i$ 。条件 $ab = i(a + b - i)$ 整理为所以 $|A \cap B| = |A|$ 或 $|A \cap B| = |B|$ 。因为 $A \cap B$ 是二者的子集，这意味着 $A \subseteq B$ 或 $B \subseteq A$ 。 $\begin{aligned} &ab - ia - ib + i^2 \\ &= (a - i)(b - i) = 0, \end{aligned}$

对于满足 $A \subseteq B$ 的有序对， $5$ 个元素各自独立地属于两个集合都不在、只在 $B$ 中、或二者都在，因此有 $3^5 = 243$ 对。同样，满足 $B \subseteq A$ 的也有 $243$ 对。重复计算的正是 $A = B$ 的情况，共 $2^5 = 32$ 。对。答案为 $243 + 243 - 32 = 454$ 。

Let $a = |A|,$ $b = |B|,$ and $i = |A \cap B|,$ so $|A \cup B| = a + b - i.$ The condition $ab = i(a + b - i)$ rearranges to $\begin{aligned} &ab - ia - ib + i^2 \\ &= (a - i)(b - i) = 0, \end{aligned}$ so $|A \cap B| = |A|$ or $|A \cap B| = |B|.$ Since $A \cap B$ is a subset of each, that means $A \subseteq B$ or $B \subseteq A.$

For pairs with $A \subseteq B,$ each of the $5$ elements independently lies in neither set, in $B$ only, or in both: $3^5 = 243$ pairs. Likewise $243$ pairs satisfy $B \subseteq A,$ and the pairs counted twice are exactly those with $A = B,$ of which there are $2^5 = 32.$ The answer is $243 + 243 - 32 = 454.$

2021 AIME II 第 6 题

答案：454

难度评级：2440

解答：

其他年份的第 6 题