Question

Steve 对 Jon 说：“我在想一个多项式，它的根全都是正整数。这个多项式形如 $P(x) = 2x^3 - 2ax^2$ $+ (a^2 - 81)x - c$ ，其中 $a$ 和 $c$ 是正整数。你能告诉我 $a$ 和 $c$ 的值吗？”

经过一些计算后，Jon 说：“这样的多项式不止一个。”

Steve 说：“你说得对。这是 $a$ 的值。”他写下一个正整数并问：“你能告诉我 $c$ 的值吗？”

Jon 说：“ $c$ 仍然有两个可能值。”

求这两个可能的 $c$ 值之和。

Steve says to Jon, "I am thinking of a polynomial whose roots are all positive integers. The polynomial has the form $P(x) = 2x^3 - 2ax^2$ $+ (a^2 - 81)x - c$ for some positive integers $a$ and $c.$ Can you tell me the values of $a$ and $c?$ "

After some calculations, Jon says, "There is more than one such polynomial."

Steve says, "You're right. Here is the value of $a.$ " He writes down a positive integer and asks, "Can you tell me the value of $c?$ "

Jon says, "There are still two possible values of $c.$ "

Find the sum of the two possible values of $c.$

答案

答案：440

知识点：韦达定理多项式逻辑推理分类讨论

难度评级：2500

解答：

除以 $2$ 后，根 $r \le s \le t$ 满足 $r + s + t = a$ 、 $rs + rt + st = \frac{a^2 - 81}{2}$ ，以及 $rst = \frac{c}{2}$ 。因此 $\begin{aligned} &r^2 + s^2 + t^2 \\ &= (r + s + t)^2 - 2(rs + rt + st) \\ &= a^2 - (a^2 - 81) \\ &= 81. \end{aligned}$

平方和为 $81$ 的正整数三元组为 $(1, 4, 8)$ 、 $(4, 4, 7)$ ，和 $(3, 6, 6)$ ，对应的 $a = r + s + t$ 分别为 $13$ 、 $15$ ，和 $15$ 。因为知道 $a$ 后 Jon 仍有两个选择，所以 $a = 15$ ，两个多项式来自 $(4, 4, 7)$ 和 $(3, 6, 6)$ 。

对应的 $c = 2rst$ 分别为 $2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 7 = 224$ 和 $2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ ，和为 $224 + 216 = 440$ 。

Dividing by $2,$ the roots $r \le s \le t$ satisfy $r + s + t = a,$ $rs + rt + st = \frac{a^2 - 81}{2},$ and $rst = \frac{c}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} &r^2 + s^2 + t^2 \\ &= (r + s + t)^2 - 2(rs + rt + st) \\ &= a^2 - (a^2 - 81) \\ &= 81. \end{aligned}$

The triples of positive integers whose squares sum to $81$ are $(1, 4, 8),$ $(4, 4, 7),$ and $(3, 6, 6),$ with $a = r + s + t$ equal to $13,$ $15,$ and $15.$ Since knowing $a$ still left Jon two choices, $a = 15,$ and the two polynomials come from $(4, 4, 7)$ and $(3, 6, 6).$

The corresponding values of $c = 2rst$ are $2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 7 = 224$ and $2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 6 = 216,$ with sum $224 + 216 = 440.$

2015 AIME II 第 6 题

答案：440

难度评级：2500

解答：

其他年份的第 6 题