Question

点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在一个圆的小弧上等间隔排列。点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 、 $I$ 、 $A$ 在第二个以 $C$ 为圆心的圆的小弧上等间隔排列，如下图所示。角 $\angle ABD$ 比 $\angle AHG$ 大 $12^\circ$ 。求 $\angle BAG$ 的度数。

Points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E$ are equally spaced on a minor arc of a circle. Points $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ and $A$ are equally spaced on a minor arc of a second circle with center $C$ as shown in the figure below. The angle $\angle ABD$ exceeds $\angle AHG$ by $12^\circ.$ Find the degree measure of $\angle BAG.$

答案

答案：58

知识点：圆周角弧导角

难度评级：2720

解答：

设 $\alpha = \angle ECF$ $= \angle FCG$ $= \angle GCH$ $= \angle HCI$ $= \angle ICA$ ，即第二个圆的公共圆心角，所以 $\angle ACE = 5\alpha$ 。由于 $C$ 也在第一个圆上， $\angle ACE$ 是第一个圆中的圆周角，因而不含 $C$ 的弧 $AE$ 度数为 $10\alpha$ ，四段相等弧 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DE$ 中每段为 $\frac{360^\circ - 10\alpha}{4} = 90^\circ - \frac{5\alpha}{2}$ 。

角 $ABD$ 截不含 $B$ 的弧 $AD$ ，其度数为 $360^\circ - 3\left(90^\circ - \frac{5\alpha}{2}\right)$ ，所以 $\angle ABD = 45^\circ + \frac{15\alpha}{4}$ 。角 $AHG$ 截第二个圆中不含 $H$ 的弧 $AG$ ，其度数为 $360^\circ - 3\alpha$ ，所以 $\angle AHG = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}$ 。已知条件为 $\begin{aligned} &\left(45^\circ + \frac{15\alpha}{4}\right) - \left(180^\circ - \frac{3\alpha}{2}\right) \\ &= \frac{21\alpha}{4} - 135^\circ = 12^\circ, \end{aligned}$ 因此 $\alpha = 28^\circ$ 。

最后， $\angle BAE$ 截第一个圆上的弧 $BCDE = 3\left(90^\circ - \frac{5\alpha}{2}\right) = 60^\circ$ ，所以 $\angle BAE = 30^\circ$ ，而 $\angle EAG$ 截第二个圆上的弧 $EFG = 2\alpha$ ，所以 $\angle EAG = 28^\circ$ 。于是 $\angle BAG = \angle BAE + \angle EAG$ $= 30^\circ + 28^\circ = 58^\circ$ 。

Let $\alpha = \angle ECF$ $= \angle FCG$ $= \angle GCH$ $= \angle HCI$ $= \angle ICA,$ the common central angle of the second circle, so $\angle ACE = 5\alpha.$ Since $C$ also lies on the first circle, $\angle ACE$ is an inscribed angle there, so the arc $AE$ not containing $C$ measures $10\alpha,$ and each of the four equal arcs $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE$ measures $\frac{360^\circ - 10\alpha}{4} = 90^\circ - \frac{5\alpha}{2}.$

Angle $ABD$ subtends the arc $AD$ not containing $B,$ which is $360^\circ - 3\left(90^\circ - \frac{5\alpha}{2}\right),$ so $\angle ABD = 45^\circ + \frac{15\alpha}{4}.$ Angle $AHG$ subtends the second circle's arc $AG$ not containing $H,$ which is $360^\circ - 3\alpha,$ so $\angle AHG = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}.$ The given condition reads $\begin{aligned} &\left(45^\circ + \frac{15\alpha}{4}\right) - \left(180^\circ - \frac{3\alpha}{2}\right) \\ &= \frac{21\alpha}{4} - 135^\circ = 12^\circ, \end{aligned}$ so $\alpha = 28^\circ.$

Finally, $\angle BAE$ subtends the first circle's arc $BCDE = 3\left(90^\circ - \frac{5\alpha}{2}\right) = 60^\circ,$ giving $\angle BAE = 30^\circ,$ and $\angle EAG$ subtends the second circle's arc $EFG = 2\alpha,$ giving $\angle EAG = 28^\circ.$ Hence $\angle BAG = \angle BAE + \angle EAG$ $= 30^\circ + 28^\circ = 58^\circ.$

2015 AIME I 第 6 题

答案：58

难度评级：2720

解答：

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