Question

求最小正整数 $N$ ，使得从 $1000 \cdot N$ 开始的 $1000$ 个连续整数中不含任何整数平方数。

Find the least positive integer $N$ such that the set of $1000$ consecutive integers beginning with $1000 \cdot N$ contains no square of an integer.

答案

答案：282

知识点：完全平方数不等式极限情形界定

难度评级：2430

解答：

区间 $\{1000N, \ldots, 1000N + 999\}$ 不含任何平方数，当且仅当某两个相邻平方数 $x^2$ 和 $(x+1)^2$ 跨过这个区间；这要求 $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 \gt 1000$ ，所以 $x \ge 500$ 。特别地，低于 $500^2 = 250000$ 的每个区间都含有平方数，因此从这里开始查找。

令 $x = 500 + a$ ，其中 $a \ge 0$ 。则 $x^2 = 1000(250 + a) + a^2$ ，所以只要 $a^2 \lt 1000$ （即 $a \le 31$ ），平方数 $x^2$ 就落在第 $250 + a$ 个区间；这些区间编号从 $250$ 到 $281$ 。第 $251 + a$ 个区间被跳过，当且仅当也就是 $a^2 + 2a \ge 999$ 。当 $a \le 30$ 时不成立（所以 $(x+1)^2$ 落在第 $251 + a$ 个区间），而在 $a = 31$ 时首次成立，因为 $961 + 62 = 1023$ 。 $\begin{aligned} (x+1)^2 &= 1000(250 + a) + a^2 \\ &\quad {}+ 2a + 1001 \\ &\ge 1000(252 + a), \end{aligned}$

确实， $531^2 = 281961$ 和 $532^2 = 283024$ 分别位于以 $282000$ 开头的区间两侧。最小的这种 $N$ 是 $251 + 31 = 282$ 。

The block $\{1000N, \ldots, 1000N + 999\}$ misses all squares exactly when some consecutive squares $x^2$ and $(x+1)^2$ jump over it, which requires $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 \gt 1000,$ so $x \ge 500.$ In particular every block below $500^2 = 250000$ contains a square, so we search from there.

Write $x = 500 + a$ with $a \ge 0.$ Then $x^2 = 1000(250 + a) + a^2,$ so as long as $a^2 \lt 1000$ (that is, $a \le 31$ ), the square $x^2$ lies in block $250 + a;$ these cover blocks $250$ through $281.$ Block $251 + a$ is skipped exactly when $\begin{aligned} (x+1)^2 &= 1000(250 + a) + a^2 \\ &\quad {}+ 2a + 1001 \\ &\ge 1000(252 + a), \end{aligned}$ that is, $a^2 + 2a \ge 999.$ For $a \le 30$ this fails (so $(x+1)^2$ lands in block $251 + a$ ), and it first holds at $a = 31,$ since $961 + 62 = 1023.$

Indeed $531^2 = 281961$ and $532^2 = 283024$ straddle the block starting at $282000.$ The least such $N$ is $251 + 31 = 282.$

2013 AIME II 第 6 题

答案：282

难度评级：2430

解答：

其他年份的第 6 题