Question

假设一个抛物线的顶点为 $\left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right)$ ，方程为 $y = ax^2 + bx + c$ ，其中 $a \gt 0$ ，且 $a + b + c$ 是整数。 $a$ 的最小可能值可写成 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$ 。

Suppose that a parabola has vertex $\left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right)$ and equation $y = ax^2 + bx + c,$ where $a \gt 0$ and $a + b + c$ is an integer. The minimum possible value of $a$ can be written in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

答案

答案：11

知识点：抛物线二次方程

难度评级：2300

解答：

抛物线的顶点式为 $y = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}$ 。因为 $a + b + c$ 等于 $x = 1$ 时的 $y$ 值， $\begin{aligned} a + b + c &= a\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} \\ &= \frac{9(a - 2)}{16}. \end{aligned}$

若它等于整数 $n$ ，则 $a = 2 + \frac{16n}{9}$ 。条件 $a \gt 0$ 要求 $16n \gt -18$ ，也就是 $n \ge -1$ ，而当 $n = -1$ 时 $a$ 最小，得到 $a = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}$ 。

因此 $p + q = 2 + 9 = 11$ 。

In vertex form the parabola is $y = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}.$ Since $a + b + c$ equals the value of $y$ at $x = 1,$ $\begin{aligned} a + b + c &= a\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} \\ &= \frac{9(a - 2)}{16}. \end{aligned}$

If this equals the integer $n,$ then $a = 2 + \frac{16n}{9}.$ The condition $a \gt 0$ requires $16n \gt -18,$ that is $n \ge -1,$ and $a$ is smallest when $n = -1,$ giving $a = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}.$

Thus $p + q = 2 + 9 = 11.$

2011 AIME I 第 6 题

答案：11

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 6 题