Question

求最小的正整数 $n$ ，使得多项式 $x^4 - nx + 63$ 可以写成两个非常数整系数多项式的乘积。

Find the smallest positive integer $n$ with the property that the polynomial $x^4 - nx + 63$ can be written as a product of two nonconstant polynomials with integer coefficients.

答案

答案：8

知识点：多项式因式分解分类讨论

难度评级：2500

解答：

如果存在一次因式，则某个整数 $b$ 是根，所以 $b^4 - nb + 63 = 0$ ， $n = b^3 + \frac{63}{b}$ ，这迫使 $b \mid 63$ 且 $b \gt 0$ 。最小值是 $48$ ，在 $b = 3$ 时取得。

否则该多项式分解为两个二次式，可取为首一多项式；由于 $x^3$ 项系数为零，它们有形式 $\begin{aligned} &(x^2 + px + q)(x^2 - px + r) \\ &= x^4 + (q + r - p^2)x^2 \\ &\quad {}+ p(r - q)x + qr. \end{aligned}$ 比较系数得 $q + r = p^2$ ， $qr = 63$ ，且 $n = p(q - r)$ 。乘积为 $63$ 且和为平方数的因数对为 $\{7, 9\}$ （和为 $16$ ，所以 $p = 4$ ）以及 $\{1, 63\}$ （和为 $64$ ，所以 $p = 8$ ），给出 $n = 4 \cdot 2 = 8$ 或 $n = 8 \cdot 62 = 496$ 。

所有正值中最小的是 $n = 8$ ；事实上 $(x^2 + 4x + 9)(x^2 - 4x + 7)$ $= x^4 - 8x + 63$ 。

If there is a linear factor, then some integer $b$ is a root, so $b^4 - nb + 63 = 0$ and $n = b^3 + \frac{63}{b},$ forcing $b \mid 63$ and $b \gt 0.$ The smallest value is $48,$ at $b = 3.$

Otherwise the polynomial splits into two quadratics, which we may take monic; since the $x^3$ coefficient vanishes, they have the form $\begin{aligned} &(x^2 + px + q)(x^2 - px + r) \\ &= x^4 + (q + r - p^2)x^2 \\ &\quad {}+ p(r - q)x + qr. \end{aligned}$ Matching coefficients gives $q + r = p^2,$ $qr = 63,$ and $n = p(q - r).$ The factor pairs of $63$ with square sum are $\{7, 9\}$ (sum $16,$ so $p = 4$ ) and $\{1, 63\}$ (sum $64,$ so $p = 8$ ), giving $n = 4 \cdot 2 = 8$ or $n = 8 \cdot 62 = 496.$

The smallest positive value overall is $n = 8;$ indeed $(x^2 + 4x + 9)(x^2 - 4x + 7)$ $= x^4 - 8x + 63.$

2010 AIME II 第 6 题

答案：8

难度评级：2500

解答：

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