Question

设 $P(x)$ 是一个实系数二次多项式，满足对所有实数 $x$ 都有并且 $P(11) = 181$ 。求 $P(16)$ 。 $\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$

Let $P(x)$ be a quadratic polynomial with real coefficients satisfying $\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$ for all real numbers $x,$ and suppose $P(11) = 181.$ Find $P(16).$

答案

答案：406

知识点：二次方程配方法多项式

难度评级：2390

解答：

配方后，条件为当 $x = 1$ 时，两个界都等于 $1$ ，所以 $P(1) = 1$ 。二次式 $P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)$ 对所有 $x$ 非负，并在 $x = 1$ 处为零，所以 $x = 1$ 是二重根： $P(x) = a(x-1)^2 + 1$ ，其中 $a$ 为常数。 $\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}$

由 $P(11) = 100a + 1 = 181$ 得 $a = \frac{9}{5}$ 。于是 $\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}$

Completing the square, the condition reads $\begin{aligned} (x-1)^2 + 1 &\le P(x) \\ &\le 2(x-1)^2 + 1. \end{aligned}$ At $x = 1$ both bounds equal $1,$ so $P(1) = 1.$ The quadratic $P(x) - \left((x-1)^2 + 1\right)$ is nonnegative for all $x$ and vanishes at $x = 1,$ so $x = 1$ is a double root: $P(x) = a(x-1)^2 + 1$ for some constant $a.$

From $P(11) = 100a + 1 = 181$ we get $a = \frac{9}{5}.$ Then $\begin{aligned} P(16) &= \frac{9}{5} \cdot 225 + 1 \\ &= 405 + 1 = 406. \end{aligned}$

2010 AIME I 第 6 题

答案：406

难度评级：2390

解答：

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