Question

有多少个小于 $1000$ 的正整数 $N$ ，使得方程 $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ 有解 $x$ ？（记号 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

How many positive integers $N$ less than $1000$ are there such that the equation $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ has a solution for $x?$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

答案

答案：412

知识点：取整函数区间内整数计数分类讨论

难度评级：2390

解答：

设 $\lfloor x \rfloor = k$ ，其中 $k$ 为正整数。当 $x$ 在 $[k, k+1)$ 中变化时， $x^k$ 从 $k^k$ 连续递增并趋近于 $(k+1)^k$ ，所以可达到的整数 $N$ 恰好满足 $k^k \le N \le (k+1)^k - 1$ ：一共有 $(k+1)^k - k^k$ 个，而且不同 $k$ 对应的区间互不重叠。（ $x$ 小于 $1$ 时不会产生新的正整数，因为 $x^0 = 1$ 已经可以达到。）

对 $k = 1, 2, 3, 4$ ，数量分别为 $2 - 1 = 1$ ， $9 - 4 = 5$ ， $64 - 27 = 37$ ，和 $625 - 256 = 369$ ，且这些 $N$ 都至多为 $624 \lt 1000$ 。当 $k = 5$ 时，最小值为 $5^5 = 3125 \gt 1000$ 。

总数为 $1 + 5 + 37 + 369 = 412$ 。

Suppose $\lfloor x \rfloor = k$ for a positive integer $k.$ As $x$ runs over $[k, k+1),$ the value $x^k$ increases continuously from $k^k$ toward $(k+1)^k,$ so the attainable integers $N$ are exactly those with $k^k \le N \le (k+1)^k - 1:$ there are $(k+1)^k - k^k$ of them, and these ranges are disjoint for different $k.$ (Values of $x$ below $1$ produce no new positive integers, since $x^0 = 1$ is already attained.)

For $k = 1, 2, 3, 4$ the counts are $2 - 1 = 1,$ $9 - 4 = 5,$ $64 - 27 = 37,$ and $625 - 256 = 369,$ and every such $N$ is at most $624 \lt 1000.$ For $k = 5$ the smallest value is $5^5 = 3125 \gt 1000.$

The total is $1 + 5 + 37 + 369 = 412.$

2009 AIME I 第 6 题

答案：412

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 6 题