Question

正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$ 。点 $E$ 和 $F$ 分别在 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 上，使得 $\triangle AEF$ 是等边三角形。一个以 $B$ 为顶点的正方形的边与 $ABCD$ 的边平行，且有一个顶点在 $\overline{AE}$ 上。这个小正方形的边长为 $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数，且 $b$ 不被任何质数的平方整除。求 $a + b + c$ 。

Square $ABCD$ has sides of length $1.$ Points $E$ and $F$ are on $\overline{BC}$ and $\overline{CD},$ respectively, so that $\triangle AEF$ is equilateral. A square with vertex $B$ has sides that are parallel to those of $ABCD$ and a vertex on $\overline{AE}.$ The length of a side of this smaller square is $\frac{a - \sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

答案

答案：12

知识点：等边三角形正方形（几何）坐标几何

难度评级：2510

解答：

设 $A = (0, 0)$ ， $B = (1, 0)$ ， $C = (1, 1)$ ， $D = (0, 1)$ 。由等边三角形关于对角线 $\overline{AC}$ 的对称性，有 $BE = DF$ 。令 $BE = t$ ，则 $CE = CF = 1 - t$ 。于是 $AE^2 = 1 + t^2$ ， $EF^2 = 2(1 - t)^2$ ，令二者相等得到 $t^2 - 4t + 1 = 0$ ，所以 $t = 2 - \sqrt{3}$ （取小于 $1$ 的根）。

因此 $E = (1,\, 2 - \sqrt{3})$ ，直线 $AE$ 为 $y = (2 - \sqrt{3})x$ 。若小正方形的边长为 $q$ ，则它与 $B$ 相对的顶点是 $(1 - q,\, q)$ ，该点必须在直线 $AE$ 上： $\begin{aligned} q &= (2 - \sqrt{3})(1 - q) \\ &\Longrightarrow q = \frac{2 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \\ &= \frac{(2 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{6} \\ &= \frac{3 - \sqrt{3}}{6}. \end{aligned}$

所以 $a = 3$ ， $b = 3$ ， $c = 6$ ，且 $a + b + c = 12$ 。

Place $A = (0, 0),$ $B = (1, 0),$ $C = (1, 1),$ $D = (0, 1).$ By the symmetry of the equilateral triangle across diagonal $\overline{AC},$ we have $BE = DF.$ Let $BE = t,$ so $CE = CF = 1 - t.$ Then $AE^2 = 1 + t^2$ and $EF^2 = 2(1 - t)^2,$ and setting them equal gives $t^2 - 4t + 1 = 0,$ so $t = 2 - \sqrt{3}$ (taking the root less than $1$ ).

Thus $E = (1,\, 2 - \sqrt{3}),$ and line $AE$ is $y = (2 - \sqrt{3})x.$ If the smaller square has side $q,$ its vertex opposite $B$ is $(1 - q,\, q),$ which must lie on line $AE:$ $\begin{aligned} q &= (2 - \sqrt{3})(1 - q) \\ &\Longrightarrow q = \frac{2 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \\ &= \frac{(2 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{6} \\ &= \frac{3 - \sqrt{3}}{6}. \end{aligned}$

So $a = 3,$ $b = 3,$ $c = 6,$ and $a + b + c = 12.$

2006 AIME II 第 6 题

答案：12

难度评级：2510

解答：

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