Question

设 $P$ 为方程 $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x = 2005$ 的所有非实根的乘积。求 $\lfloor P\rfloor$ 。（记号 $\lfloor P\rfloor$ 表示小于或等于 $P$ 的最大整数。）

Let $P$ be the product of the nonreal roots of $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x = 2005.$ Find $\lfloor P\rfloor.$ (The notation $\lfloor P\rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $P.$ )

答案

答案：45

知识点：多项式二项式定理复数

难度评级：2290

解答：

两边同时加 $1$ ，左边变成一个完全四次方： $\begin{aligned} &(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \\ &\quad {}- 4x + 1 = 2006. \end{aligned}$ 因此 $x - 1$ 是 $2006$ 的四次方根：四个根为 $x = 1 \pm \sqrt[4]{2006}$ （实根）和 $x = 1 \pm i\sqrt[4]{2006}$ （非实根）。

这一对共轭非实根的乘积为 $\begin{aligned} &\left(1 + i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 - i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &= 1 + \sqrt{2006}. \end{aligned}$ 因为 $44^2 = 1936$ $\lt 2006$ $\lt 2025 = 45^2$ ，所以 $45 \lt P \lt 46$ ，从而 $\lfloor P\rfloor = 45$ 。

Adding $1$ to both sides turns the left side into a perfect fourth power: $\begin{aligned} &(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \\ &\quad {}- 4x + 1 = 2006. \end{aligned}$ So $x - 1$ is a fourth root of $2006:$ the four roots are $x = 1 \pm \sqrt[4]{2006}$ (real) and $x = 1 \pm i\sqrt[4]{2006}$ (nonreal).

The product of the conjugate pair of nonreal roots is $\begin{aligned} &\left(1 + i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 - i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &= 1 + \sqrt{2006}. \end{aligned}$ Since $44^2 = 1936$ $\lt 2006$ $\lt 2025 = 45^2,$ we have $45 \lt P \lt 46,$ so $\lfloor P\rfloor = 45.$

2005 AIME I 第 6 题

答案：45

难度评级：2290

解答：

其他年份的第 6 题