Question

正方形 $ABCD$ 内接于一个圆。正方形 $EFGH$ 的顶点 $E$ 和 $F$ 在 $\overline{CD}$ 上，顶点 $G$ 和 $H$ 在圆上。正方形 $EFGH$ 的面积与正方形 $ABCD$ 的面积之比可表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数且 $m \lt n$ 。求 $10n + m$ 。

Square $ABCD$ is inscribed in a circle. Square $EFGH$ has vertices $E$ and $F$ on $\overline{CD}$ and vertices $G$ and $H$ on the circle. The ratio of the area of square $EFGH$ to the area of square $ABCD$ can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers and $m \lt n.$ Find $10n + m.$

答案

答案：251

知识点：正方形（几何）圆坐标几何二次方程

难度评级：2390

解答：

将圆心放在原点，设 $ABCD$ 的边长为 $s$ ，于是圆为 $x^2 + y^2 = \frac{s^2}{2}$ ，边 $\overline{CD}$ 位于直线 $y = \frac{s}{2}$ 上。小正方形立在 $\overline{CD}$ 上，并在 $ABCD$ 外侧：若它的边长为 $t$ ，由对称性 $G = \left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2} + t\right)$ ，且该点必须在圆上。

代入得 $\frac{t^2}{4} + \left(\frac{s}{2} + t\right)^2 = \frac{s^2}{2}$ ，展开为 $5t^2 + 4st - s^2 = 0$ ，即 $(5t - s)(t + s) = 0$ 。因为 $t \gt 0$ ，得 $t = \frac{s}{5}$ 。

面积比为 $\frac{t^2}{s^2} = \frac{1}{25}$ ，所以 $m = 1$ ， $n = 25$ ，且 $10n + m = 251$ 。

Center the circle at the origin and let $ABCD$ have side $s,$ so the circle is $x^2 + y^2 = \frac{s^2}{2}$ and side $\overline{CD}$ lies on the line $y = \frac{s}{2}.$ The small square sits on $\overline{CD},$ outside $ABCD:$ if its side is $t,$ then by symmetry $G = \left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2} + t\right),$ which must lie on the circle.

Substituting, $\frac{t^2}{4} + \left(\frac{s}{2} + t\right)^2 = \frac{s^2}{2},$ which expands to $5t^2 + 4st - s^2 = 0,$ or $(5t - s)(t + s) = 0.$ Since $t \gt 0,$ we get $t = \frac{s}{5}.$

The ratio of areas is $\frac{t^2}{s^2} = \frac{1}{25},$ so $m = 1,$ $n = 25,$ and $10n + m = 251.$

2001 AIME II 第 6 题

答案：251

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 6 题