Question

有多少个整数有序对 $(x, y)$ 满足 $0 \lt x \lt y \lt 10^6$ ，且 $x$ 和 $y$ 的算术平均数恰好比 $x$ 和 $y$ 的几何平均数大 $2$ ？

For how many ordered pairs $(x, y)$ of integers is it true that $0 \lt x \lt y \lt 10^6$ and that the arithmetic mean of $x$ and $y$ is exactly $2$ more than the geometric mean of $x$ and $y?$

答案

答案：997

知识点：完全平方数根式代数变形

难度评级：2230

解答：

条件为 $\frac{x + y}{2} = \sqrt{xy} + 2$ ，即 $x + y - 2\sqrt{xy} = 4$ ，所以 $(\sqrt{y} - \sqrt{x})^2 = 4$ 。由于 $y \gt x$ 有 $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 2$ 。注意 $\sqrt{xy} = \frac{x + y - 4}{2}$ 是有理数，因此 $\sqrt{y} + \sqrt{x} = \frac{y - x}{\sqrt{y} - \sqrt{x}} = \frac{y - x}{2}$ 也是有理数，所以 $\sqrt{x}$ 和 $\sqrt{y}$ 都是有理数；整数的有理平方根必为整数。

因此 $x = a^2$ ， $y = (a + 2)^2$ ，其中 $a$ 为正整数。约束 $y \lt 10^6$ 等价于 $a + 2 \le 999$ ，所以 $a$ 可取 $1, 2, \ldots, 997$ ，每个值都给出一个有效有序对。

所以共有 $997$ 个有序对。

The condition is $\frac{x + y}{2} = \sqrt{xy} + 2,$ that is, $x + y - 2\sqrt{xy} = 4,$ so $(\sqrt{y} - \sqrt{x})^2 = 4$ and (as $y \gt x$ ) $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 2.$ Note $\sqrt{xy} = \frac{x + y - 4}{2}$ is rational, hence $\sqrt{y} + \sqrt{x} = \frac{y - x}{\sqrt{y} - \sqrt{x}} = \frac{y - x}{2}$ is rational too, so $\sqrt{x}$ and $\sqrt{y}$ are rational — and a rational square root of an integer is an integer.

Therefore $x = a^2$ and $y = (a + 2)^2$ for a positive integer $a.$ The constraint $y \lt 10^6$ means $a + 2 \le 999,$ so $a$ ranges over $1, 2, \ldots, 997,$ and each value gives a valid pair.

Hence there are $997$ ordered pairs.

2000 AIME I 第 6 题

答案：997

难度评级：2230

解答：

其他年份的第 6 题