Question

坐标平面第一象限上的一个变换把每个点 $(x, y)$ 映射到点 $(\sqrt{x}, \sqrt{y})$ 。四边形 $ABCD$ 的顶点为 $A = (900, 300)$ ， $B = (1800, 600)$ ， $C = (600, 1800)$ ，和 $D = (300, 900)$ 。设 $k$ 为四边形 $ABCD$ 的像所围成区域的面积。求不超过 $k$ 的最大整数。

A transformation of the first quadrant of the coordinate plane maps each point $(x, y)$ to the point $(\sqrt{x}, \sqrt{y}).$ The vertices of quadrilateral $ABCD$ are $A = (900, 300),$ $B = (1800, 600),$ $C = (600, 1800),$ and $D = (300, 900).$ Let $k$ be the area of the region enclosed by the image of quadrilateral $ABCD.$ Find the greatest integer that does not exceed $k.$

答案

答案：314

知识点：变换坐标几何扇形圆环

难度评级：2450

解答：

追踪四条边。边 $AB$ 和 $DC$ 分别在直线 $y = \frac{x}{3}$ 和 $y = 3x$ 上，它们映射成直线 $v = \frac{u}{\sqrt{3}}$ 和 $v = \sqrt{3}\,u$ ，也就是从原点出发、与横轴成 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ 的射线。边 $AD$ 和 $BC$ 分别在 $x + y = 1200$ 和 $x + y = 2400$ 上，它们映射成圆 $u^2 + v^2 = 1200$ 和 $u^2 + v^2 = 2400$ 的圆弧。

因此像区域是半径在 $\sqrt{1200}$ 与 $\sqrt{2400}$ 之间、夹在 $30^\circ$ 与 $60^\circ$ 两条射线之间的圆环扇形，是完整圆环的十二分之一： $\begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi \approx 314.16. \end{aligned}$

不超过 $k$ 的最大整数是 $314$ 。

Follow the four edges. Sides $AB$ and $DC$ lie on the lines $y = \frac{x}{3}$ and $y = 3x,$ which map to the lines $v = \frac{u}{\sqrt{3}}$ and $v = \sqrt{3}\,u$ — rays from the origin at angles $30^\circ$ and $60^\circ.$ Sides $AD$ and $BC$ lie on $x + y = 1200$ and $x + y = 2400,$ which map to arcs of the circles $u^2 + v^2 = 1200$ and $u^2 + v^2 = 2400.$

So the image is the part of the annulus between radii $\sqrt{1200}$ and $\sqrt{2400}$ lying between the $30^\circ$ and $60^\circ$ rays, one twelfth of the full annulus: $\begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi \approx 314.16. \end{aligned}$

The greatest integer not exceeding $k$ is $314.$

1999 AIME 第 6 题

答案：314

难度评级：2450

解答：

其他年份的第 6 题