Question

设 $ABCD$ 是一个平行四边形。将 $\overline{DA}$ 经过 $A$ 延长到点 $P$ ，并使 $\overline{PC}$ 与 $\overline{AB}$ 交于 $Q$ 与 $\overline{DB}$ 交于 $R$ 。已知 $PQ = 735$ 且 $QR = 112$ ，求 $RC$ 。

Let $ABCD$ be a parallelogram. Extend $\overline{DA}$ through $A$ to a point $P,$ and let $\overline{PC}$ meet $\overline{AB}$ at $Q$ and $\overline{DB}$ at $R.$ Given that $PQ = 735$ and $QR = 112,$ find $RC.$

答案

答案：308

知识点：相似平行四边形二次方程

难度评级：2510

解答：

令 $a = \frac{PA}{AD}$ 。因为 $AQ \parallel DC$ ，三角形 $PAQ$ 与 $PDC$ 相似，所以 $\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD} = \frac{a}{a+1}$ 。因为 $BC \parallel AD$ ，也就是 $BC \parallel PD$ ，三角形 $RBC$ 与 $RDP$ 相似，所以 $\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD} = \frac{1}{a+1}$ ，从而 $\frac{RC}{PC} = \frac{1}{a+2}$ 。

设 $PC = L$ ，则 $PQ = \frac{a}{a+1}L$ ， $RC = \frac{L}{a+2}$ ，并且因此 $\frac{PQ}{QR} = a(a+2) = \frac{735}{112} = \frac{105}{16}$ ，所以 $16a^2 + 32a - 105 = 0$ ，因式分解为 $(4a - 7)(4a + 15) = 0$ ，得到 $a = \frac{7}{4}$ 。 $\begin{aligned} QR &= L - PQ - RC \\ &= \frac{L}{(a+1)(a+2)}. \end{aligned}$

最后 $RC = (a + 1)\,QR$ $= \frac{11}{4} \cdot 112$ $= 308$ 。

Let $a = \frac{PA}{AD}.$ Since $AQ \parallel DC,$ triangles $PAQ$ and $PDC$ are similar, so $\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD} = \frac{a}{a+1}.$ Since $BC \parallel AD,$ i.e. $BC \parallel PD,$ triangles $RBC$ and $RDP$ are similar, so $\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD} = \frac{1}{a+1},$ which gives $\frac{RC}{PC} = \frac{1}{a+2}.$

Writing $PC = L,$ we get $PQ = \frac{a}{a+1}L,$ $RC = \frac{L}{a+2},$ and $\begin{aligned} QR &= L - PQ - RC \\ &= \frac{L}{(a+1)(a+2)}. \end{aligned}$ Hence $\frac{PQ}{QR} = a(a+2) = \frac{735}{112} = \frac{105}{16},$ so $16a^2 + 32a - 105 = 0,$ which factors as $(4a - 7)(4a + 15) = 0,$ giving $a = \frac{7}{4}.$

Finally $RC = (a + 1)\,QR$ $= \frac{11}{4} \cdot 112$ $= 308.$

1998 AIME 第 6 题

答案：308

难度评级：2510

解答：

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