1998 AIME 第 6 题

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6.

设

ABCD

是一个平行四边形。将

\overline{DA}

经过

A

延长到点

P

，并令

\overline{PC}

与

\overline{AB}

交于

Q

，与

\overline{DB}

交于

R

。已知

PQ = 735

且

QR = 112

，求

RC

。

Let

ABCD

be a parallelogram. Extend

\overline{DA}

through

A

to a point

P,

and let

\overline{PC}

meet

\overline{AB}

at

Q

and

\overline{DB}

at

R.

Given that

PQ = 735

and

QR = 112,

find

RC.

答案

答案：308

知识点：相似平行四边形二次方程

难度评级：2510

小提示：

有两组相似三角形：

AQ \parallel DC

给出

\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD}

，而

BC \parallel PD

给出

\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD}

Two pairs of similar triangles:

AQ \parallel DC

gives

\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD},

and

BC \parallel PD

gives

\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD}

大提示：

令

a = \frac{PA}{AD}

，这些比值给出

PQ : QR : RC

= a(a+2) : 1 : (a+1)

；用

\frac{PQ}{QR} = \frac{735}{112}

求出

a

With

a = \frac{PA}{AD},

the ratios give

PQ : QR : RC

= a(a+2) : 1 : (a+1);

use

\frac{PQ}{QR} = \frac{735}{112}

to find

a

解答：

令

a = \frac{PA}{AD}

。因为

AQ \parallel DC

，三角形

PAQ

与

PDC

相似，所以

\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD} = \frac{a}{a+1}

。因为

BC \parallel AD

，也就是

BC \parallel PD

，三角形

RBC

与

RDP

相似，所以

\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD} = \frac{1}{a+1}

，从而

\frac{RC}{PC} = \frac{1}{a+2}

。

设

PC = L

，则

PQ = \frac{a}{a+1}L

，

RC = \frac{L}{a+2}

，并且

\begin{aligned} QR &= L - PQ - RC \\ &= \frac{L}{(a+1)(a+2)} \end{aligned}\text{。}

因此

\frac{PQ}{QR} = a(a+2) = \frac{735}{112} = \frac{105}{16}

，所以

16a^2 + 32a - 105 = 0

，因式分解为

(4a - 7)(4a + 15) = 0

，得到

a = \frac{7}{4}

。

最后

RC = (a + 1)\,QR

= \frac{11}{4} \cdot 112

= 308

。

Let

a = \frac{PA}{AD}.

Since

AQ \parallel DC,

triangles

PAQ

and

PDC

are similar, so

\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD} = \frac{a}{a+1}.

Since

BC \parallel AD,

i.e.

BC \parallel PD,

triangles

RBC

and

RDP

are similar, so

\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD} = \frac{1}{a+1},

which gives

\frac{RC}{PC} = \frac{1}{a+2}.

Writing

PC = L,

we get

PQ = \frac{a}{a+1}L,

RC = \frac{L}{a+2},

and

\begin{aligned} QR &= L - PQ - RC \\ &= \frac{L}{(a+1)(a+2)}. \end{aligned}

Hence

\frac{PQ}{QR} = a(a+2) = \frac{735}{112} = \frac{105}{16},

so

16a^2 + 32a - 105 = 0,

which factors as

(4a - 7)(4a + 15) = 0,

giving

a = \frac{7}{4}.

Finally

RC = (a + 1)\,QR

= \frac{11}{4} \cdot 112

= 308.