Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

1959 AMC 12 Problema 36

Intenta el Problema 36 del 1959 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1959 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

36.

La base de un triángulo mide 80,80, y uno de los ángulos de la base mide 60∘.60^\circ. La suma de las longitudes de los otros dos lados es 90.90. El lado más corto mide:
The base of a triangle is 80,80, and one of the base angles is 60∘.60^\circ. The sum of the lengths of the other two sides is 90.90. The shortest side is:
4545
4040
3636
1717
1212
Respuesta: D
Conceptos:ley de los cosenosmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1550
Pista pequeña:
Sea xx el lado adyacente al ángulo de 60∘60^\circ, de modo que el tercer lado es 90−x90-x
Let the side adjacent to the 60∘60^\circ angle be xx, so the third side is 90−x90-x
Pista grande:
Aplica la ley de cosenos a los lados adyacentes 8080 y xx
Apply the law of cosines with included sides 8080 and xx
Solución:
Denotemos la longitud del lado adyacente al ángulo de la base de 60∘60^\circ por x,x, y la del lado opuesto por 90−x.90-x. La ley de cosenos da (90−x)2=802+x2−2(80)(x)cos⁡60∘. \begin{aligned} (90-x)^2 &=80^2+x^2\\ &\quad{}-2(80)(x)\cos60^\circ. \end{aligned} Al simplificar se obtiene 8100−180x=6400−80x,8100-180x=6400-80x, así que x=17.x=17. Las longitudes de los lados son 17, 73,17,\ 73, y 80,80, y la menor es 17.17.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let the side adjacent to the 60∘60^\circ base angle be x,x, and let the opposite side be 90−x.90-x. The law of cosines gives (90−x)2=802+x2−2(80)(x)cos⁡60∘. \begin{aligned} (90-x)^2 &=80^2+x^2\\ &\quad{}-2(80)(x)\cos60^\circ. \end{aligned} Simplifying yields 8100−180x=6400−80x,8100-180x=6400-80x, so x=17.x=17. The side lengths are 17, 73,17,\ 73, and 80,80, and the shortest is 17.17.
Thus, the correct answer is D.
Problema 35#35
Examen completo
Problema 37#37

El Problema 36 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12