Question

无穷级数 $\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots$ 的第 $n$ 项为 $\frac{n}{10^n}$ ，其极限和为：

The limiting sum of the infinite series $\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots,$ whose $n$ th term is $\frac{n}{10^n},$ is:

$\dfrac19$

$\dfrac{10}{81}$

$\dfrac18$

$\dfrac{17}{72}$

大于任何有限量

larger than any finite quantity

答案：B

知识点：差比数列微积分求和

难度评级：1570

小提示：

从 $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$ 开始

Start from $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$

大提示：

先求导，再乘以 $x$

Differentiate and then multiply by $x$

解答：

当 $|x|\lt1$ 时， $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}\text{。}$ 取 $x=\frac{1}{10}$ ，得到 $\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}\text{。}$

所以正确答案是 B。

For $|x|\lt1,$ $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}.$ Taking $x=\frac{1}{10}$ gives $\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}.$

Thus, the correct answer is B.

1962 AMC 12 第 40 题

答案：B

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 40 题