Question

点 $A=(6,13)$ 和 $B=(12,11)$ 在平面中的圆 $\omega$ 上。假设 $\omega$ 在 $A$ 和 $B$ 处的切线相交于 $x$ 轴上的一点。求 $\omega$ 的面积。

Points $A=(6,13)$ and $B=(12,11)$ lie on a circle $\omega$ in the plane. Suppose that the tangent lines to $\omega$ at $A$ and $B$ intersect at a point on the $x$ -axis. What is the area of $\omega?$

$\dfrac{83\pi}{8}$

$\dfrac{21\pi}{2}$

$\dfrac{85\pi}{8}$

$\dfrac{43\pi}{4}$

$\dfrac{87\pi}{8}$

答案：C

知识点：坐标几何切线垂直平分线

难度评级：2150

解答：

设两条切线交于 $P$ 。从同一点引出的两条切线长度相等，所以 $PA=PB$ ，因此 $P$ 在 $\overline{AB}$ 的垂直平分线上。

$A(6,13)$ 与 $B(12,11)$ 的中点为 $(9,12)$ ， $AB$ 的斜率为 $-\dfrac13$ ，所以垂直平分线为 $y=3x-15$ 。它与 $x$ 轴交于 $P=(5,0)$ 。

经过 $P$ 和 $A$ 的切线斜率为 $13$ ，所以通向 $A$ 的半径斜率为 $-\dfrac1{13}$ 。联立 $y-13=-\dfrac1{13}(x-6)$ 与 $y=3x-15$ ，得到圆心 $\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right)$ 。

因此 $r^2=\left(\dfrac{37}{4}-6\right)^2$ $+\left(\dfrac{51}{4}-13\right)^2$ $=\dfrac{85}{8}$ ，所以圆面积为 $\dfrac{85\pi}{8}$ 。正确答案是 C。

Let $P$ be the intersection point of the two tangents. Since tangent lengths from the same point are equal, $PA=PB$ , so $P$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{AB}$ .

The midpoint of $A(6,13)$ and $B(12,11)$ is $(9,12)$ , and the slope of $AB$ is $-\dfrac13$ , so the perpendicular bisector is $y=3x-15$ . Its intersection with the $x$ -axis is $P=(5,0)$ .

The tangent line through $P$ and $A$ has slope $13$ , so the radius to $A$ has slope $-\dfrac1{13}$ . Intersecting $y-13=-\dfrac1{13}(x-6)$ with $y=3x-15$ gives center $\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right)$ .

Thus $r^2=\left(\dfrac{37}{4}-6\right)^2$ $+\left(\dfrac{51}{4}-13\right)^2$ $=\dfrac{85}{8}$ , so the area is $\dfrac{85\pi}{8}$ . Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10B 第 23 题

答案：C

难度评级：2150

解答：

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