Question

在一个平面内，点 $A$ 和 $B$ 相距 $10$ 个单位。平面内有多少个点 $C$ ，使得三角形 $\triangle ABC$ 的周长为 $50$ 个单位，三角形 $\triangle ABC$ 的面积为 $100$ 平方单位？

In a given plane, points $A$ and $B$ are $10$ units apart. How many points $C$ are there in the plane such that the perimeter of $\triangle ABC$ is $50$ units and the area of $\triangle ABC$ is $100$ square units?

$0$

$2$

$4$

$8$

$\text{infinitely many}$

答案：A

知识点：三角形面积三角不等式

难度评级：1460

解答：

面积条件确定了 $C$ 到直线 $AB.$ 的距离。若该距离为 $h,$ 则 $\frac{10h}{2}=100,$ 所以 $h=20.$ 因此 $C$ 必须位于一条与 $AB$ 平行且距离为 $20.$ 的直线上。

因为 $C$ 到直线 $AB$ 的垂直距离为 $20$ ，所以 $AC$ 和 $BC$ 都至少为 $20$ 。它们不能同时等于 $20$ ，否则从 $C$ 向直线 $AB$ 作的垂线就必须同时落在不同的点 $A$ 和 $B$ 上。因此 $AC+BC>40$ ，与周长条件 $AC+BC=40$ 矛盾。所以不存在符合条件的点 $C$ 。

所以答案是 A。

The area condition fixes the distance from $C$ to line $AB.$ If that distance is $h,$ then $\frac{10h}{2}=100,$ so $h=20.$ Thus $C$ must lie on a line parallel to $AB$ at distance $20.$

Since the perpendicular distance from $C$ to line $AB$ is $20$ , both $AC$ and $BC$ are at least $20$ . They cannot both equal $20$ , because that would require the perpendicular from $C$ to meet line $AB$ at both distinct points $A$ and $B$ . Hence $AC+BC>40$ , contradicting the perimeter requirement $AC+BC=40$ . Therefore no point $C$ works.

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B 第 10 题

答案：A

难度评级：1460

解答：

其他年份的第 10 题