Question

有多少个正整数有序对 $(a, b)$ 满足方程

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b), \end{aligned}$

其中 $\gcd(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公因数， $\operatorname{lcm}(a, b)$ 表示它们的最小公倍数。

How many ordered pairs $(a, b)$ of positive integers satisfy the equation

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b), \end{aligned}$

where $\gcd(a, b)$ denotes the greatest common divisor of $a$ and $b,$ and $\operatorname{lcm}(a, b)$ denotes their least common multiple?

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

答案：B

知识点：最小公倍数最大公约数西蒙最爱的因式分解技巧

难度评级：2120

解答：

由 $ab=\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b)$ ，令 $x=\operatorname{lcm}(a,b)$ ， $y=\gcd(a,b)$ 。 $(x-12)(y-20)=177=3\cdot59.$

原方程变为 $(x,y)=(13,197)$ ，整理得 $(189,21)$ 。 $(15,79)$ ， $(71,23)$ 。 $x$ $y$ $y$ $x$ ， $(x,y)=(189,21)$

正因数分解给出的候选为 $a=21u$ 、 $b=21v$ 、 $\gcd(u,v)=1$ 和 $uv=189/21=9$ 。又必须有 $(u,v)=(1,9)$ ，所以只有 $(9,1)$ 符合。因此 $(21,189)$ ， $(189,21)$ ，对应。有序对为和，共个。正确答案是 B。

Recall $ab=\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b).$ Let $x=\operatorname{lcm}(a,b)$ and $y=\gcd(a,b).$ The equation becomes $(x-12)(y-20)=177=3\cdot59.$

The positive factor pairs give $(x,y)=(13,197),$ $(189,21),$ $(15,79),$ and $(71,23).$ The negative factor pairs make either $x$ or $y$ negative, so they are impossible. Also $y$ must divide $x,$ and only $(x,y)=(189,21)$ passes.

Write $a=21u$ and $b=21v.$ Then $\gcd(u,v)=1$ and $uv=189/21=9,$ so $(u,v)=(1,9)$ or $(9,1).$ Hence the two ordered pairs are $(21,189)$ and $(189,21),$ and B is the correct answer.

2018 AMC 10B 第 23 题

答案：B

难度评级：2120

解答：

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