2018 AMC 10A 第 24 题

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24.

三角形

ABC

中，

AB=50

，

AC=10

，面积为

120

。设

D

是

\overline{AB}

的中点，

E

是

\overline{AC}

的中点。

\angle BAC

的角平分线分别与

\overline{DE}

和

\overline{BC}

交于

F

和

G

。四边形

FDBG

的面积是多少？

Triangle

ABC

with

AB=50

and

AC=10

has area

120.

Let

D

be the midpoint of

\overline{AB},

and let

E

be the midpoint of

\overline{AC}.

The angle bisector of

\angle BAC

intersects

\overline{DE}

and

\overline{BC}

at

F

and

G,

respectively. What is the area of quadrilateral

FDBG?

60

65

70

75

80

答案：D

知识点：角平分线定理中点梯形面积比

难度评级：2040

小提示：

用角平分线定理确定

G

的位置。

Use the angle bisector theorem to locate

G

大提示：

中位线

DE

使梯形的高等于原三角形高的一半。

The midsegment

DE

makes a similar half-height trapezoid

解答：

设

BC = a, BG = x, GC = y

，并设过

A

的高为

h

。

由角平分线定理，

BG:GC=AB:AC=5:1

，所以

BG=\dfrac{5a}{6}

。因为

DE

是中位线，

DE=\dfrac a2

。在

\triangle ADE

中再次应用该定理，得

DF:FE=AD:AE=5:1

，所以

DF=\dfrac56DE=\dfrac{5a}{12}

。

梯形的高为

\frac{h}{2}

，且

\frac{ah}{2}=120

。它的平均底长为

\dfrac12\left(\dfrac{5a}{12}+\dfrac{5a}{6}\right)=\dfrac{5a}{8}

。因此面积为

\dfrac{5a}{8}\cdot\dfrac h2=\dfrac58\cdot\dfrac{ah}{2}=75\text{。}

所以正确答案是 D。

Let

BC = a, BG = x, GC = y,

and

h

be the length of the altitude through

A.

By the Angle Bisector Theorem,

BG:GC=AB:AC=5:1,

so

BG=\dfrac{5a}{6}.

Because

DE

is a midsegment,

DE=\dfrac a2.

Applying the same theorem in

\triangle ADE

gives

DF:FE=AD:AE=5:1,

so

DF=\dfrac56DE=\dfrac{5a}{12}.

The trapezoid’s height is

\frac{h}{2},

and

\frac{ah}{2}=120.

Its average base length is

\dfrac12\left(\dfrac{5a}{12}+\dfrac{5a}{6}\right)=\dfrac{5a}{8}.

Therefore, its area is

\dfrac{5a}{8}\cdot\dfrac h2=\dfrac58\cdot\dfrac{ah}{2}=75.

Thus, D is the correct answer.