Question

从集合中随机选择一个数 $m$ ，并从集合中随机选择一个数 $n$ 。 $m^n$ 的个位数字为 $1$ 的概率是多少？ $\{11,13,15,17,19\},$ $\{1999,2000,2001,\ldots,2018\}.$

A number $m$ is randomly selected from the set $\{11,13,15,17,19\},$ and a number $n$ is randomly selected from $\{1999,2000,2001,\ldots,2018\}.$ What is the probability that $m^n$ has a units digit of $1?$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{7}{20}$

$\dfrac{2}{5}$

答案：E

知识点：个位数字模幂运算基本概率分类讨论

难度评级：1540

解答：

只需考虑 $m$ 的个位数字。在 $20$ 个连续的可能指数中，每个模 $4$ 的余数出现 $5$ 次，并且有 $10$ 个偶数指数。个位为 $1$ 的底数对全部 $20$ 个指数都成功；个位为 $3$ 或 $7$ 的底数在能被 $4;$ 整除的 $5$ 个指数上成功；个位为 $5$ 的底数从不成功；个位为 $9$ 的底数在 $10$ 个偶数指数上成功。

因此，在 $5\cdot20=100$ 个等可能数对中，有 $20+5+0+5+10=40$ 个符合条件，概率为 $\dfrac{40}{100}=\dfrac25.$

所以正确答案是 E。

Only the units digit of $m$ matters. Among the $20$ consecutive possible exponents, each residue modulo $4$ occurs $5$ times, and $10$ exponents are even. A base ending in $1$ succeeds for all $20$ exponents; bases ending in $3$ or $7$ succeed for the $5$ exponents divisible by $4;$ a base ending in $5$ never succeeds; and a base ending in $9$ succeeds for the $10$ even exponents.

Thus $20+5+0+5+10=40$ of the $5\cdot20=100$ equally likely pairs work, and the probability is $\dfrac{40}{100}=\dfrac25.$

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 19 题

答案：E

难度评级：1540

解答：

其他年份的第 19 题