2018 AMC 10A 第 19 题

Question

从集合

\{11,13,15,17,19\}

中随机选择一个数

m

，并从集合

\{1999,2000,2001,\ldots,2018\}

中随机选择一个数

n

。

m^n

的个位数字为

1

的概率是多少？

A number

m

is randomly selected from the set

\{11,13,15,17,19\},

and a number

n

is randomly selected from

\{1999,2000,2001,\ldots,2018\}.

What is the probability that

m^n

has a units digit of

1?

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{3}{10}

\dfrac{7}{20}

\dfrac{2}{5}

答案：E

知识点：个位数字模幂运算基本概率分类讨论

难度评级：1540

小提示：

只需考虑个位数字的循环。

Only units-digit cycles matter

大提示：

分别统计个位为

1,3,5,7,9

的底数对应的成功次数。

Average the success counts for bases ending in

1,3,5,7,9

解答：

只需考虑

m

的个位数字。在

20

个连续的可能指数中，每个模

4

的余数出现

5

次，并且有

10

个偶数指数。个位为

1

的底数对全部

20

个指数都成功；个位为

3

或

7

的底数在能被

4

整除的那

5

个指数上成功；个位为

5

的底数从不成功；个位为

9

的底数在

10

个偶数指数上成功。

因此，在

5\cdot20=100

个等可能数对中，有

20+5+0+5+10=40

个符合条件，概率为

\dfrac{40}{100}=\dfrac25

。

所以正确答案是 E。

Only the units digit of

m

matters. Among the

20

consecutive possible exponents, each residue modulo

4

occurs

5

times, and

10

exponents are even. A base ending in

1

succeeds for all

20

exponents; bases ending in

3

or

7

succeed for the

5

exponents divisible by

4;

a base ending in

5

never succeeds; and a base ending in

9

succeeds for the

10

even exponents.

Thus

20+5+0+5+10=40

of the

5\cdot20=100

equally likely pairs work, and the probability is

\dfrac{40}{100}=\dfrac25.

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 19 题

答案：E

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

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