Question

有多少个实数有序对 $(x,y)$ 满足方程组 $\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}$

How many ordered pairs of real numbers $(x,y)$ satisfy the following system of equations? $\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

答案：C

知识点：绝对值方程组分类讨论

难度评级：1370

解答：

第二个方程等价于 $|x|-|y|=1$ 或 $|x|-|y|=-1$ ，因此只需检查四种线性关系 $x=y\pm1$ 和 $x=-y\pm1$ 。

分别与 $x+3y=3$ 联立，得到 $(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$ 、 $(0,1)$ 、再次得到 $(0,1)$ ，以及 $(-3,2)$ 。

其中有三个互不相同的有序对，而且都满足原绝对值方程。因此正确答案是 C。

The second equation says $|x|-|y|=1$ or $|x|-|y|=-1$ , so it is enough to check the four linear possibilities $x=y\pm1$ and $x=-y\pm1$ .

Combining these with $x+3y=3$ gives $(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$ , $(0,1)$ , $(0,1)$ again, and $(-3,2)$ .

These are three distinct ordered pairs, and each satisfies the original absolute-value equation. Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 12 题

答案：C

难度评级：1370

解答：

其他年份的第 12 题