2018 AMC 10A 第 12 题

Question

有多少个实数有序对

(x,y)

满足下列方程组？

\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}

How many ordered pairs of real numbers

(x,y)

satisfy the following system of equations?

\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}

1

2

3

4

8

把绝对值方程拆成四种线性情形。

Replace the absolute-value equation by four linear cases

不同情形可能得到同一个解，因此要数互不相同的有序对。

Distinct solutions can repeat across cases, so count unique ordered pairs

第二个方程等价于

|x|-|y|=1

或

|x|-|y|=-1

，因此只需检查四种线性关系

x=y\pm1

和

x=-y\pm1

。

分别与

x+3y=3

联立，得到

(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)

、

(0,1)

、再次得到

(0,1)

，以及

(-3,2)

。

其中有三个互不相同的有序对，而且都满足原绝对值方程。因此正确答案是 C。

The second equation says

|x|-|y|=1

or

|x|-|y|=-1

, so it is enough to check the four linear possibilities

x=y\pm1

and

x=-y\pm1

.

Combining these with

x+3y=3

gives

(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)

,

(0,1)

,

(0,1)

again, and

(-3,2)

.

These are three distinct ordered pairs, and each satisfies the original absolute-value equation. Thus, C is the correct answer.

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