2016 AMC 10B 第 20 题

Question

平面上的一次位似变换，也就是具有正比例因子的大小变换，把以

A(2,2)

为圆心、半径为

2

的圆变成以

A'(5,6)

为圆心、半径为

3

的圆。在这个变换下，原点

O(0,0)

移动了多远？

A dilation of the plane—that is, a size transformation with a positive scale factor—sends the circle of radius

2

centered at

A(2,2)

to the circle of radius

3

centered at

A'(5,6).

What distance does the origin

O(0,0),

move under this transformation?

\ 0

\ 3

\ \sqrt{13}

\ 4

\ 5

答案：C

知识点：位似坐标几何向量

难度评级：1660

小提示：

位似比例因子是

\frac{3}{2}

。

The dilation scale factor is

\frac{3}{2}

大提示：

位似中心在两个圆心所在的直线上。

The center of dilation lies on the line through the two circle centers

解答：

半径从

2

变为

3

，所以位似比例因子为

\frac32

。位似中心

C

在

A(2,2)

与

A'(5,6)

所在的直线上。

从

A

到

A'

的向量为

(3,4)

。若

C

是位似中心，则由比例因子可得

A'-A=\frac12(A-C)\text{。}

于是

A-C=2(3,4)

，所以

C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6)

。

以

C

为中心作比例因子为

\frac32

的位似时，一个点移动的距离是它到

C

距离的一半。由于

CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}

，原点移动的距离为

\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}

。

所以正确答案是 C。

The dilation scale factor is

\frac32

, since the radius changes from

2

to

3

. The center of dilation

C

lies on the line through

A(2,2)

and

A'(5,6)

.

The vector from

A

to

A'

is

(3,4)

. If

C

is the dilation center, then the scale factor gives

A'-A=\frac12(A-C).

Thus

A-C=2(3,4)

, so

C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6).

Under a scale factor

\frac32

dilation about

C

, a point moves by half its distance from

C

. Since

CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}

, the origin moves

\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}

.

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 10B 第 20 题

答案：C

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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