Question

平面上的一次位似变换，也就是具有正比例因子的大小变换，把以 $A(2,2)$ 为圆心、半径为 $2$ 的圆变成以 $A'(5,6)$ 为圆心、半径为 $3$ 的圆。在这个变换下，原点 $O(0,0)$ 移动了多远？

A dilation of the plane—that is, a size transformation with a positive scale factor—sends the circle of radius $2$ centered at $A(2,2)$ to the circle of radius $3$ centered at $A'(5,6).$ What distance does the origin $O(0,0),$ move under this transformation?

$\ 0$

$\ 3$

$\ \sqrt{13}$

$\ 4$

$\ 5$

答案：C

知识点：位似坐标几何向量

难度评级：1660

解答：

半径从 $2$ 变为 $3$ ，所以位似比例因子为 $\frac32$ 。位似中心 $C$ 在 $A(2,2)$ 与 $A'(5,6)$ 所在的直线上。

从 $A$ 到 $A'$ 的向量为 $(3,4)$ 。因为 $A-C=2(3,4)$ ，所以从 $C$ 到 $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6)$ 的向量是从返回的向量的两倍，因此 $A'-A=\frac12(A-C).$

以 $C$ 为中心作比例因子为 $\frac32$ 的位似时，一个点移动的距离是它到 $C$ 距离的一半。由于 $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ ，原点移动的距离为 $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ 。

所以正确答案是 C。

The dilation scale factor is $\frac32$ , since the radius changes from $2$ to $3$ . The center of dilation $C$ lies on the line through $A(2,2)$ and $A'(5,6)$ .

The vector from $A$ to $A'$ is $(3,4)$ . If $C$ is the dilation center, then the scale factor gives $A'-A=\frac12(A-C).$ Thus $A-C=2(3,4)$ , so $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6).$

Under a scale factor $\frac32$ dilation about $C$ , a point moves by half its distance from $C$ . Since $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ , the origin moves $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ .

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 10B 第 20 题

答案：C

难度评级：1660

解答：

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