Question

一个四边形内接于半径为 $200\sqrt{2}$ 的圆。该四边形的三条边长为 $200$ 。第四条边长是多少？

A quadrilateral is inscribed in a circle of radius $200\sqrt{2}.$ Three of the sides of this quadrilateral have length $200.$ What is the length of the fourth side?

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

$300\sqrt{2}$

$500$

答案：E

知识点：圆内接四边形弦 triple-angle identity

难度评级：2300

解答：

设 $ABCD$ 为圆心，令 $AD$ 与 $AB=BC=CD=200$ 、 $2\theta$ 分别交于 $\sin\theta=\frac{1}{2\sqrt2}$ 、 $\theta<30^\circ$ 。等长弦 $6\theta<180^\circ$ 对应相等圆心角。 $200=2(200\sqrt2)\sin\theta,$

由相等角关系， $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ 。因为，且，相似关系给出，同理。 $AD=2(200\sqrt2)\sin(3\theta).$ $\begin{aligned} \sin(3\theta) &=\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{1}{4\sqrt2} \\ &=\frac{5}{4\sqrt2}. \end{aligned}$

在三角形中，同样的比例给出。因此 $AD=400\sqrt2\cdot\frac{5}{4\sqrt2}=500.$

所以正确答案是 E。

Label the quadrilateral $ABCD$ , with $AB=BC=CD=200$ . Let each of these equal chords subtend central angle $2\theta$ . The chord formula gives $200=2(200\sqrt2)\sin\theta,$ so $\sin\theta=\frac{1}{2\sqrt2}$ . In particular, $\theta<30^\circ$ , so the smaller central angle subtended by $AD$ is $6\theta<180^\circ$ .

Therefore another use of the chord formula gives $AD=2(200\sqrt2)\sin(3\theta).$ Using $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ , we obtain $\begin{aligned} \sin(3\theta) &=\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{1}{4\sqrt2} \\ &=\frac{5}{4\sqrt2}. \end{aligned}$

Hence $AD=400\sqrt2\cdot\frac{5}{4\sqrt2}=500.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 10A 第 24 题

答案：E

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 24 题