Question

蚂蚁 Aaron 按如下规则在坐标平面上行走。

他从原点 $p_0=(0,0)$ 出发，面向东方，走一个单位到达 $p_1=(1,0)$ 。

对 $n=1,2,3,\dots$ ，每次到达点 $p_n$ 后，若 Aaron 可以向左转 $90^\circ$ 并走一个单位到达一个尚未访问过的点 $p_{n+1}$ ，他就这样做。否则，他直走一个单位到达 $p_{n+1}$ 。因此点列继续为如此形成逆时针螺旋。求 $p_{2015}$ 。 $\begin{aligned} &p_2=(1,1),\; p_3=(0,1), \\ &p_4=(-1,1),\; p_5=(-1,0),\;\ldots \end{aligned}$

Aaron the ant walks on the coordinate plane according to the following rules.

He starts at the origin $p_0=(0,0)$ facing to the east and walks one unit, arriving at $p_1=(1,0).$

For $n=1,2,3,\dots,$ right after arriving at the point $p_n,$ if Aaron can turn $90^\circ$ left and walk one unit to an unvisited point $p_{n+1},$ he does that. Otherwise, he walks one unit straight ahead to reach $p_{n+1}.$ Thus the sequence of points continues $\begin{aligned} &p_2=(1,1),\; p_3=(0,1), \\ &p_4=(-1,1),\; p_5=(-1,0),\;\ldots \end{aligned}$ in a counterclockwise spiral pattern. What is $p_{2015}?$

$(-22,-13)$

$(-13,-22)$

$(-13,22)$

$(13,-22)$

$(22,-13)$

答案：D

知识点：坐标几何找规律完全平方数

难度评级：1880

解答：

当 Aaron 到达 $(k,-k)$ 时，他刚好完成了包含所有坐标介于 $-k$ 与 $k$ 之间的格点的方形螺旋。 $p_{(2k+1)^2-1}=(k,-k).$

取 $k=22$ ，得到 $p_{2024}=(22,-22)$ 。因为 $2024-2015=9$ ，沿底边倒推时， $x$ 坐标减去 $9$ ，所以 $p_{2015}=(13,-22).$

所以正确答案是 D。

When Aaron reaches $(k,-k)$ , he has just completed the square spiral containing all grid points with coordinates between $-k$ and $k$ . Therefore $p_{(2k+1)^2-1}=(k,-k).$

With $k=22$ , this gives $p_{2024}=(22,-22)$ . Since $2024-2015=9$ , stepping backward along the bottom edge subtracts $9$ from the $x$ -coordinate, so $p_{2015}=(13,-22).$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 10B 第 24 题

答案：D

难度评级：1880

解答：

其他年份的第 24 题