2015 AMC 10B 第 24 题

Question

蚂蚁 Aaron 按如下规则在坐标平面上行走。

他从原点

p_0=(0,0)

出发，面向东方，走一个单位到达

p_1=(1,0)

。

对

n=1

，

2

，

3

，

\dots

，每次到达点

p_n

后，若 Aaron 可以向左转

90^\circ

并走一个单位到达一个尚未访问过的点

p_{n+1}

，他就这样做。否则，他直走一个单位到达

p_{n+1}

。因此点列继续为

\begin{aligned} &p_2=(1,1),\; p_3=(0,1), \\ &p_4=(-1,1),\; p_5=(-1,0),\;\ldots \end{aligned}

如此形成逆时针螺旋。求

p_{2015}

。

Aaron the ant walks on the coordinate plane according to the following rules.

He starts at the origin

p_0=(0,0)

facing to the east and walks one unit, arriving at

p_1=(1,0).

For

n=1,

2,

3,

\dots,

right after arriving at the point

p_n,

if Aaron can turn

90^\circ

left and walk one unit to an unvisited point

p_{n+1},

he does that. Otherwise, he walks one unit straight ahead to reach

p_{n+1}.

Thus the sequence of points continues

\begin{aligned} &p_2=(1,1),\; p_3=(0,1), \\ &p_4=(-1,1),\; p_5=(-1,0),\;\ldots \end{aligned}

in a counterclockwise spiral pattern. What is

p_{2015}?

(-22,-13)

(-13,-22)

(-13,22)

(13,-22)

(22,-13)

答案：D

知识点：坐标几何找规律完全平方数

难度评级：1880

小提示：

将

2015

与

(2k+1)^2-1

比较。

Compare

2015

to

(2k+1)^2-1

大提示：

使用

p_{2024}=(22,-22)

，再沿路径倒推。

Use

p_{2024}=(22,-22)

and step backward

解答：

当 Aaron 到达

(k,-k)

时，他刚好完成了包含所有坐标介于

-k

与

k

之间的格点的方形螺旋。因此

p_{(2k+1)^2-1}=(k,-k)\text{。}

取

k=22

，得到

p_{2024}=(22,-22)

。因为

2024-2015=9

，沿底边倒推时，

x

坐标减去

9

，所以

p_{2015}=(13,-22)\text{。}

所以正确答案是 D。

When Aaron reaches

(k,-k)

, he has just completed the square spiral containing all grid points with coordinates between

-k

and

k

. Therefore

p_{(2k+1)^2-1}=(k,-k).

With

k=22

, this gives

p_{2024}=(22,-22)

. Since

2024-2015=9

, stepping backward along the bottom edge subtracts

9

from the

x

-coordinate, so

p_{2015}=(13,-22).

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 10B 第 24 题

答案：D

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

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