Question

对某些正整数 $p$ ，存在一个四边形 $ABCD$ ，其边长均为正整数，周长为 $p$ ，在 $B$ 和 $C$ 处为直角，且 $AB=2$ 、 $CD=AD$ 。满足 $p < 2015$ 的周长可以有多少个不同的值？

For some positive integers $p,$ there is a quadrilateral $ABCD$ with positive integer side lengths, perimeter $p,$ right angles at $B$ and $C,$ $AB=2,$ and $CD=AD.$ How many different values of $p < 2015$ are possible?

$30$

$31$

$61$

$62$

$63$

答案：B

知识点：勾股定理丢番图方程周长

难度评级：2300

解答：

设 $BC=x$ ，且 $CD=AD=y$ 。从 $A$ 向 $CD$ 作高，得到一个直角三角形，其直角边为 $x$ 和 $y-2$ ，斜边为 $y$ 。因此所以 $x^2=4(y-1)$ 。 $(y-2)^2+x^2=y^2,$

因为 $x$ 是整数，写作 $x=2k$ 。于是 $y=k^2+1$ ，周长为 $\begin{aligned} &p=2+x+y+y \\ &=2k^2+2k+4. \end{aligned}$

需要 $2k^2+2k+4<2015$ ，也就是 $k^2+k<1005.5$ 。这对 $k=1,2,\ldots,31$ 成立，而 $k=32$ 过大，所以共有 $31$ 个可能的周长。

所以正确答案是 B。

Let $BC=x$ and $CD=AD=y$ . Dropping the altitude from $A$ to $CD$ gives a right triangle with legs $x$ and $y-2$ , and hypotenuse $y$ . Therefore $(y-2)^2+x^2=y^2,$ so $x^2=4(y-1)$ .

Since $x$ is an integer, write $x=2k$ . Then $y=k^2+1$ , and the perimeter is $\begin{aligned} &p=2+x+y+y \\ &=2k^2+2k+4. \end{aligned}$

We need $2k^2+2k+4<2015$ , or $k^2+k<1005.5$ . This holds for $k=1,2,\ldots,31$ , while $k=32$ is too large. Thus there are $31$ possible perimeters.

Thus, B is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 24 题

答案：B

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 24 题