2015 AMC 10A 第 24 题

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24.

对某些正整数

p

，存在一个四边形

ABCD

，其边长均为正整数，周长为

p

，在

B

和

C

处为直角，且

AB=2

、

CD=AD

。满足

p < 2015

的周长可以有多少个不同的值？

For some positive integers

p,

there is a quadrilateral

ABCD

with positive integer side lengths, perimeter

p,

right angles at

B

and

C,

AB=2,

and

CD=AD.

How many different values of

p < 2015

are possible?

30

31

61

62

63

答案：B

知识点：勾股定理丢番图方程周长

难度评级：2300

小提示：

根据图中的直角三角形令

x=2k

。

Set

x=2k

from the right triangle in the diagram

大提示：

使用

p=2k^2+2k+4

。

Use

p=2k^2+2k+4

解答：

设

BC=x

，且

CD=AD=y

。从

A

向

CD

作高，得到一个直角三角形，其直角边为

x

和

y-2

，斜边为

y

。因此

(y-2)^2+x^2=y^2\text{，}

所以

x^2=4(y-1)

。

因为

x

是整数，写作

x=2k

。于是

y=k^2+1

，周长为

\begin{aligned} &p=2+x+y+y \\ &=2k^2+2k+4 \end{aligned}\text{。}

需要

2k^2+2k+4<2015

，也就是

k^2+k<1005.5

。这对

k=1,2,\ldots,31

成立，而

k=32

过大，所以共有

31

个可能的周长。

所以正确答案是 B。

Let

BC=x

and

CD=AD=y

. Dropping the altitude from

A

to

CD

gives a right triangle with legs

x

and

y-2

, and hypotenuse

y

. Therefore

(y-2)^2+x^2=y^2,

so

x^2=4(y-1)

.

Since

x

is an integer, write

x=2k

. Then

y=k^2+1

, and the perimeter is

\begin{aligned} &p=2+x+y+y \\ &=2k^2+2k+4. \end{aligned}

We need

2k^2+2k+4<2015

, or

k^2+k<1005.5

. This holds for

k=1,2,\ldots,31

, while

k=32

is too large. Thus there are

31

possible perimeters.

Thus, B is the correct answer.