Question

实数 $c,b,a$ 构成等差数列，且 $a \geq b \geq c \geq 0$ 。二次式 $ax^2+bx+c$ 恰好有一个根。这个根是什么？

The real numbers $c,b,a$ form an arithmetic sequence with $a \geq b \geq c \geq 0.$ The quadratic $ax^2+bx+c$ has exactly one root. What is this root?

$-7-4\sqrt{3}$

$-2-\sqrt{3}$

$-1$

$-2+\sqrt{3}$

$-7+4\sqrt{3}$

答案：D

知识点：二次方程等差数列

难度评级：1790

解答：

设公差为 $d$ ，则 $c=b-d$ 、 $a=b+d$ 。

二次式恰好有一个实根，所以判别式为 $0$ ，即 $b^2-4ac=0$ 。代入得 $b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2$ ，因此 $4d^2=3b^2$ 。

由于 $b,d\ge0$ ，由上式得 $2d=\sqrt3 b$ 。重根为 $\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3$ 。

所以正确答案是 D。

Let the common difference be $d$ , so $c=b-d$ and $a=b+d$ .

A quadratic with exactly one real root has discriminant $0$ , so $b^2-4ac=0$ . Substituting gives $b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2$ , hence $4d^2=3b^2$ .

Since $b,d\ge0$ , $2d=\sqrt3 b$ . The double root is $\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3$ .

Thus, the correct answer is D .

2013 AMC 10B 第 19 题

答案：D

难度评级：1790

解答：

其他年份的第 19 题