2013 AMC 10B 第 19 题

Question

实数

c

，

b

，

a

构成等差数列，且

a \geq b \geq c \geq 0

。二次式

ax^2+bx+c

恰好有一个根。这个根是什么？

The real numbers

c,

b,

a

form an arithmetic sequence with

a \geq b \geq c \geq 0.

The quadratic

ax^2+bx+c

has exactly one root. What is this root?

-7-4\sqrt{3}

-2-\sqrt{3}

-1

-2+\sqrt{3}

-7+4\sqrt{3}

答案：D

知识点：二次方程等差数列

难度评级：1790

小提示：

把等差数列写成

b-d,b,b+d

。

Write the arithmetic sequence as

b-d,b,b+d

大提示：

使用判别式为零的条件。

Use the zero discriminant condition

解答：

设公差为

d

，则

c=b-d

、

a=b+d

。

二次式恰好有一个实根，所以判别式为

0

，即

b^2-4ac=0

。代入得

b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2

，因此

4d^2=3b^2

。

由于

b,d\ge0

，由上式得

2d=\sqrt3 b

。重根为

\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3

。

所以正确答案是 D。

Let the common difference be

d

, so

c=b-d

and

a=b+d

.

A quadratic with exactly one real root has discriminant

0

, so

b^2-4ac=0

. Substituting gives

b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2

, hence

4d^2=3b^2

.

Since

b,d\ge0

,

2d=\sqrt3 b

. The double root is

\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3

.

Thus, the correct answer is D .

2013 AMC 10B 第 19 题

答案：D

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题