Question

$90!$ 的最后两个非零数字组成的数等于 $n$ 。 $n$ 是多少？

The number obtained from the last two nonzero digits of $90!$ is equal to $n.$ What is $n?$

$12$

$32$

$48$

$52$

$68$

答案：A

知识点：阶乘模运算中国剩余定理末尾零

难度评级：2390

解答：

$90!$ 末尾零的个数为 $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21$ 。令 $N=\dfrac{90!}{10^{21}}$ 。

去掉 $10^{21}$ 后仍剩下超过两个因数 $2$ ，所以 $N\equiv0 \pmod4$ 。

设 $A$ 为 $90!$ 中不被 $5$ 整除的因数之积， $B$ 为被 $5$ 整除的因数之积。按模 $25$ 的余数分组，得到 $A\equiv1\pmod{25}$ 且 $\dfrac{B}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}$ 。

因此 $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}$ 。又因为 $2^{21}\equiv2\pmod{25}$ ，所以 $N=\dfrac{90!}{5^{21}\cdot2^{21}}$ $\equiv-13$ $\equiv12\pmod{25}$ 。

同时满足 $0\pmod4$ 和 $12\pmod{25}$ 的两位数为 $12\pmod{100}$ ，所以最后两个非零数字组成 $12$ 。

所以正确答案是 A。

The number of trailing zeroes in $90!$ is $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.$ Let $N=\dfrac{90!}{10^{21}}.$

There are still more than two factors of $2$ left after removing $10^{21},$ so $N\equiv0 \pmod4.$

Let $A$ be the product of factors of $90!$ not divisible by $5,$ and let $B$ be the product of the factors divisible by $5.$ Grouping residues modulo $25$ gives $A\equiv1\pmod{25}$ and $\dfrac{B}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$

Therefore $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$ Since $2^{21}\equiv2\pmod{25},$ $N=\dfrac{90!}{5^{21}\cdot2^{21}}$ $\equiv-13$ $\equiv12\pmod{25}.$

The number congruent to $0\pmod4$ and $12\pmod{25}$ is $12\pmod{100},$ so the last two nonzero digits form $12.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 10A 第 24 题

答案：A

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 24 题