Question

Kiana 有两个年纪比她大的双胞胎哥哥。他们三人的年龄乘积为 $128$ 。三人的年龄和是多少？

Kiana has two older twin brothers. The product of their three ages is $128.$ What is the sum of their three ages?

$10$

$12$

$16$

$18$

$24$

答案：D

知识点：质因数分解 2的幂年龄问题

难度评级：960

解答：

因为 $128=2^7,$ 每个年龄都是 $2.$ 的幂。设双胞胎的共同年龄为 $t$ ，Kiana 的年龄为 $k,$ 则需要 $t^2k=128$ ，且 $k\lt t.$

写成 $t=2^j.$ 于是 $k=2^{7-2j}.$ 为了使 $k$ 为正整数年龄，需要 $7-2j\ge0,$ 所以 $j\le3.$ 因为 Kiana 比双胞胎小， $7-2j\lt j,$ 所以 $j\ge3.$ 因此 $j=3,$ 得到 $t=8$ 、 $k=2.$ 年龄和为 $8+8+2=18.$

所以正确答案是 D。

Since $128=2^7,$ every age is a power of $2.$ Writing the twins' common age as $t$ and Kiana's as $k,$ we need $t^2k=128$ with $k\lt t.$

Write $t=2^j.$ Then $k=2^{7-2j}.$ For $k$ to be a positive integer age we need $7-2j\ge0,$ so $j\le3.$ Because Kiana is younger than the twins, $7-2j\lt j,$ so $j\ge3.$ Therefore $j=3,$ giving $t=8$ and $k=2.$ The sum is $8+8+2=18.$

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 10B 第 6 题

答案：D

难度评级：960

解答：

其他年份的第 6 题