2008 AMC 10A 第 19 题

Question

矩形

PQRS

在平面内，且

PQ = RS = 2

、

QR = SP = 6

。矩形先绕

R

顺时针旋转

90^\circ

，再绕第一次旋转后点

S

移到的位置顺时针旋转

90^\circ

。点

P

经过的路径长度是多少？

Rectangle

PQRS

lies in a plane with

PQ = RS = 2

and

QR = SP = 6.

The rectangle is rotated

90^\circ

clockwise about

R,

then rotated

90^\circ

clockwise about the point that

S

moved to after the first rotation. What is the length of the path traveled by point

P?

\left(2\sqrt{3} + \sqrt{5}\right)\pi

6\pi

\left(3 + \sqrt{10}\right)\pi

\left(\sqrt{3} + 2\sqrt{5}\right)\pi

2\sqrt{10}\pi

答案：C

知识点：变换弧勾股定理

难度评级：1840

小提示：

每次旋转时，点

P

都走过一段四分之一圆弧。

Point

P

traces one quarter-circle arc for each rotation

大提示：

第一次半径为

PR = \sqrt{40}

；第二次半径为长为

6

的边。

The first radius is

PR = \sqrt{40};

the second radius is the side of length

6

解答：

第一次旋转中，

P

绕

R

走四分之一圆，半径为

PR = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}

。弧长为

\dfrac{1}{4}\left(2\pi \cdot 2\sqrt{10}\right) = \sqrt{10}\,\pi

。

第二次旋转中，

P

绕

S

的新位置走四分之一圆，半径为

6

。弧长为

\dfrac{1}{4}(2\pi \cdot 6) = 3\pi

。

总路径长度为

\left(3 + \sqrt{10}\right)\pi

。

所以正确答案是 C。

In the first rotation,

P

moves on a quarter circle about

R

with radius

PR = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}.

The arc length is

\dfrac{1}{4}\left(2\pi \cdot 2\sqrt{10}\right) = \sqrt{10}\,\pi.

In the second rotation,

P

moves on a quarter circle about the new position of

S