2006 AMC 10B 第 19 题

Question

半径为

2

的圆以

O

为圆心。正方形

OABC

的边长为

1

。边

\overline{AB}

和

\overline{CB}

分别越过

B

延长，与圆交于

D

和

E

。图中由

\overline{BD}

、

\overline{BE}

以及连接

D

和

E

的小弧围成的阴影区域面积是多少？

A circle of radius

2

is centered at

O.

Square

OABC

has side length

1.

Sides

\overline{AB}

and

\overline{CB}

are extended past

B

to meet the circle at

D

and

E,

respectively. What is the area of the shaded region in the figure, which is bounded by

\overline{BD},

\overline{BE},

and the minor arc connecting

D

and

E?

\dfrac{\pi}{3}+1-\sqrt{3}

\dfrac{\pi}{2}(2-\sqrt{3})

\pi(2-\sqrt{3})

\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}

\dfrac{\pi}{3}-1+\sqrt{3}

答案：A

知识点：扇形三角形面积导角

难度评级：1820

小提示：

利用

OC=1

和

OE=2

求出

\angle EOA=30^\circ

。

Use

OC=1

and

OE=2

to find

\angle EOA=30^\circ

大提示：

阴影面积等于扇形

DOE

减去两个直角三角形

OBD

和

OBE

。

Shaded area equals sector

DOE

minus the two right triangles

OBD

and

OBE

解答：

因为

OA=1

、

OD=2

，且

D

在直线

x=1

上，所以

\angle AOD=60^\circ

，

\angle COE=60^\circ

，

\angle DOE=30^\circ

。

因此扇形

DOE

的面积为

\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}

。

阴影区域是这个扇形减去三角形

OBD

和

OBE

。由于

BD=BE=\sqrt3-1

，每个三角形面积为

\tfrac12(\sqrt3-1)(1)

，合计为

\sqrt3-1

。

所以阴影面积为

\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3

。

所以正确答案是 A。

Since

OA=1

and

OD=2

with

D

on the line

x=1,

we get

\angle AOD=60^\circ,

and likewise

\angle COE=60^\circ,

so

\angle DOE=30^\circ.

The sector

DOE

has area

\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}.

The region is this sector minus triangles

OBD

and

OBE.

With

BD=BE=\sqrt3-1,

each triangle has area

\tfrac12(\sqrt3-1)(1),

totaling

\sqrt3-1.

So the shaded area is

\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3.

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 10B 第 19 题

答案：A

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

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