Question

设 $x$ 和 $y$ 是两位整数，且 $y$ 由 $x$ 的数字倒序得到。整数 $x$ 和 $y$ 满足 $x^2 - y^2 = m^2$ ，其中 $m$ 是正整数。求 $x + y + m$ 。

Let $x$ and $y$ be two-digit integers such that $y$ is obtained by reversing the digits of $x.$ The integers $x$ and $y$ satisfy $x^2 - y^2 = m^2$ for some positive integer $m.$ What is $x + y + m?$

$88$

$112$

$116$

$144$

$154$

答案：E

知识点：数字平方差完全平方数

难度评级：1880

解答：

写成 $x = 10a + b$ 、 $y = 10b + a$ ，其中 $a \gt b$ 。于是 $\begin{aligned} m^2 &= x^2 - y^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

由于 $99 = 9 \cdot 11$ ，要使 $m^2$ 为完全平方数，需要 $11 \mid (a+b)(a-b)$ 。又因 $a + b \le 17$ ，这迫使 $a + b = 11$ ，然后 $a - b$ 本身必须是完全平方数。

由于 $a - b \le 8$ ，唯一可行的是 $a - b = 1$ ，得到 $(a, b) = (6, 5)$ 。于是 $x = 65$ ， $y = 56$ ，且 $m^2 = 99 \cdot 11 = 33^2$ ，所以 $m = 33$ 。

因此 $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33$ $= 154$ 。

所以正确答案是 E。

Write $x = 10a + b$ and $y = 10b + a$ with $a \gt b.$ Then $\begin{aligned} m^2 &= x^2 - y^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Since $99 = 9 \cdot 11,$ for $m^2$ to be a perfect square we need $11 \mid (a+b)(a-b).$ As $a + b \le 17,$ this forces $a + b = 11,$ and then $a - b$ must itself be a perfect square.

With $a - b \le 8,$ the only workable case is $a - b = 1,$ giving $(a, b) = (6, 5).$ Then $x = 65,$ $y = 56,$ and $m^2 = 99 \cdot 11 = 33^2,$ so $m = 33.$

Therefore $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33$ $= 154.$

Thus, E is the correct answer.

2005 AMC 10B 第 24 题

答案：E

难度评级：1880

解答：

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