2005 AMC 10B 第 24 题

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24.

设

x

和

y

是两位整数，且

y

由

x

的数字倒序得到。整数

x

和

y

满足

x^2 - y^2 = m^2

，其中

m

是正整数。求

x + y + m

。

Let

x

and

y

be two-digit integers such that

y

is obtained by reversing the digits of

x.

The integers

x

and

y

satisfy

x^2 - y^2 = m^2

for some positive integer

m.

What is

x + y + m?

88

112

116

144

154

答案：E

知识点：数字平方差完全平方数

难度评级：1880

小提示：

写

x=10a+b

、

y=10b+a

，再分解

x^2-y^2

。

Write

x=10a+b

and

y=10b+a,

then factor

x^2-y^2

大提示：

x^2-y^2=99(a+b)(a-b)

必须是完全平方数，这会迫使

a+b=11

。

x^2-y^2=99(a+b)(a-b)

must be a perfect square, which forces

a+b=11

解答：

写成

x = 10a + b

、

y = 10b + a

，其中

a \gt b

。于是

\begin{aligned} m^2 &= x^2 - y^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b) \end{aligned}\text{。}

由于

99 = 9 \cdot 11

，要使

m^2

为完全平方数，需要

(a+b)(a-b)

能被

11

整除。又因

a + b \le 17

，这迫使

a + b = 11

，然后

a - b

本身必须是完全平方数。

由于

a - b \le 8

，唯一可行的是

a - b = 1

，得到

(a, b) = (6, 5)

。于是

x = 65

，

y = 56

，且

m^2 = 99 \cdot 11 = 33^2

，所以

m = 33

。

因此

x + y + m

= 65 + 56 + 33

= 154

。

所以正确答案是 E。

Write

x = 10a + b

and

y = 10b + a

with

a \gt b.

Then

\begin{aligned} m^2 &= x^2 - y^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}

Since

99 = 9 \cdot 11,

for

m^2

to be a perfect square we need

(a+b)(a-b)

to be divisible by

11.

As

a + b \le 17,

this forces

a + b = 11,

and then

a - b

must itself be a perfect square.

With

a - b \le 8,

the only workable case is

a - b = 1,

giving

(a, b) = (6, 5).

Then

x = 65,

y = 56,

and

m^2 = 99 \cdot 11 = 33^2,

so

m = 33.

Therefore

x + y + m

= 65 + 56 + 33

= 154.

Thus, E is the correct answer.