Question

在梯形 $ABCD$ 中， $\overline{AB}$ 平行于 $\overline{DC}$ ， $E$ 是 $\overline{BC}$ 的中点， $F$ 是 $\overline{DA}$ 的中点。 $ABEF$ 的面积是 $FECD$ 面积的两倍。求 $\dfrac{AB}{DC}$ 。

In trapezoid $ABCD$ we have $\overline{AB}$ parallel to $\overline{DC},$ $E$ as the midpoint of $\overline{BC},$ and $F$ as the midpoint of $\overline{DA}.$ The area of $ABEF$ is twice the area of $FECD.$ What is $\dfrac{AB}{DC}?$

$2$

$3$

$5$

$6$

$8$

答案：C

知识点：梯形面积比中点

难度评级：1630

解答：

设 $AB = a$ ， $DC = c$ 。中位线 $\overline{FE}$ 的长度为 $\dfrac{a + c}{2}$ ，且 $ABEF$ 和 $FECD$ 高度相同。

两个小梯形的面积与其平行边平均长度成正比，所以 $\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2.$

由此 $3a + c = 2a + 6c$ ，所以 $a = 5c$ ，从而 $\dfrac{AB}{DC} = 5$ 。

所以正确答案是 C。

Let $AB = a$ and $DC = c.$ The midsegment $\overline{FE}$ has length $\dfrac{a + c}{2},$ and $ABEF$ and $FECD$ have the same height.

Their areas are proportional to the averages of their parallel sides, so $\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2.$

Then $3a + c = 2a + 6c,$ so $a = 5c$ and $\dfrac{AB}{DC} = 5.$

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B 第 23 题

答案：C

难度评级：1630

解答：

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