2005 AMC 10B 第 23 题

Question

在梯形

ABCD

中，

\overline{AB}

平行于

\overline{DC}

，

E

是

\overline{BC}

的中点，

F

是

\overline{DA}

的中点。

ABEF

的面积是

FECD

面积的两倍。求

\dfrac{AB}{DC}

。

In trapezoid

ABCD

we have

\overline{AB}

parallel to

\overline{DC},

E

as the midpoint of

\overline{BC},

and

F

as the midpoint of

\overline{DA}.

The area of

ABEF

is twice the area of

FECD.

What is

\dfrac{AB}{DC}?

2

3

5

6

8

答案：C

知识点：梯形面积比中点

难度评级：1630

小提示：

中位线

\overline{FE}

的长度为

\dfrac{AB+DC}{2}

。

The midsegment

\overline{FE}

has length

\dfrac{AB+DC}{2}

大提示：

两个较小梯形高度相同，所以面积之比等于它们平行边平均值之比。

The two smaller trapezoids share a height, so their areas compare like the averages of their parallel sides

解答：

设

AB = a

，

DC = c

。中位线

\overline{FE}

的长度为

\dfrac{a + c}{2}

，且

ABEF

和

FECD

高度相同。

两个小梯形的面积与其平行边平均长度成正比，所以

\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2\text{。}

由此

3a + c = 2a + 6c

，所以

a = 5c

，从而

\dfrac{AB}{DC} = 5

。

所以正确答案是 C。

Let

AB = a

and

DC = c.

The midsegment

\overline{FE}

has length

\dfrac{a + c}{2},

and

ABEF

and

FECD

have the same height.

Their areas are proportional to the averages of their parallel sides, so

\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2.

Then

3a + c = 2a + 6c,

so

a = 5c

and

\dfrac{AB}{DC} = 5.

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B 第 23 题

答案：C

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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