2005 AMC 10A 第 24 题

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24.

对每个正整数

m \gt 1

，令

P(m)

表示

m

的最大质因数。有多少个正整数

n

同时满足

P(n) = \sqrt{n}

和

P(n + 48) = \sqrt{n + 48}

？

For each positive integer

m \gt 1,

let

P(m)

denote the greatest prime factor of

m.

For how many positive integers

n

is it true that both

P(n) = \sqrt{n}

and

P(n + 48) = \sqrt{n + 48}?

0

1

3

4

5

答案：B

知识点：质数完全平方数平方差

难度评级：2120

小提示：

P(n) = \sqrt{n}

迫使

n

是某个质数的平方。

P(n) = \sqrt{n}

forces

n

to be the square of a prime

大提示：

写成

n = q^2

、

n + 48 = p^2

，则

48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)

。

Write

n = q^2

and

n + 48 = p^2;

then

48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)

解答：

条件

P(n) = \sqrt{n}

表示

n

是某个质数

q

的平方；同理

n + 48 = p^2

，其中

p

是质数。因此

48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)

。检查

48

的同奇偶因数分解，只有

p - q = 2,\ p + q = 24

给出质数，得到

(p, q) = (13, 11)

，所以

n = 121

。因此恰好有一个这样的

n

。

所以正确答案是 B。

The condition

P(n) = \sqrt{n}

means

n

is the square of a prime

q,

and likewise

n + 48 = p^2

for a prime

p.

Then

48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q).

Checking the same-parity factorizations of

48,

only

p - q = 2,\ p + q = 24

yields primes, giving

(p, q) = (13, 11)

and

n = 121.

So there is exactly one such

n.

Thus, the correct answer is B.