Question

对每个正整数 $m \gt 1$ ，令 $P(m)$ 表示 $m$ 的最大质因数。有多少个正整数 $n$ 同时满足 $P(n) = \sqrt{n}$ 和 $P(n + 48) = \sqrt{n + 48}$ ？

For each positive integer $m \gt 1,$ let $P(m)$ denote the greatest prime factor of $m.$ For how many positive integers $n$ is it true that both $P(n) = \sqrt{n}$ and $P(n + 48) = \sqrt{n + 48}?$

$0$

$1$

$3$

$4$

$5$

答案：B

知识点：质数完全平方数平方差

难度评级：2120

解答：

条件 $P(n) = \sqrt{n}$ 表示 $n$ 是某个质数 $q$ 的平方；同理 $n + 48 = p^2$ ，其中 $p$ 是质数。因此 $48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$ 。检查 $48$ 的同奇偶因数分解，只有 $p - q = 2,\ p + q = 24$ 给出质数，得到 $(p, q) = (13, 11)$ ，所以 $n = 121$ 。因此恰好有一个这样的 $n$ 。

所以正确答案是 B。

The condition $P(n) = \sqrt{n}$ means $n$ is the square of a prime $q,$ and likewise $n + 48 = p^2$ for a prime $p.$ Then $48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q).$ Checking the same-parity factorizations of $48,$ only $p - q = 2,\ p + q = 24$ yields primes, giving $(p, q) = (13, 11)$ and $n = 121.$ So there is exactly one such $n.$

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 10A 第 24 题

答案：B

难度评级：2120

解答：

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