Question

求所有正整数 $n$ 的和，使得 $\sqrt{n^2 + 85n + 2017}$ 是整数。

Find the sum of all positive integers $n$ such that $\sqrt{n^2 + 85n + 2017}$ is an integer.

答案

答案：195

难度评级：2450

解答：

设 $n^2 + 85n + 2017 = m^2$ ，其中 $m$ 。是正整数。两边乘以 $4$ 并配方，得到 $(2n + 85)^2 + 843 = 4m^2$ ，所以 $\begin{aligned} &(2m - 2n - 85)(2m + 2n + 85) \\ &= 843 = 3 \cdot 281, \end{aligned}$ 其中 $281$ 是质数。两个因数都是正数，且第二个更大，所以要么 $2m - 2n - 85 = 1$ 且 $2m + 2n + 85 = 843$ ，要么 $2m - 2n - 85 = 3$ 且 $2m + 2n + 85 = 281$ 。

第一个方程组给出 $m = 211$ 和 $n = 168$ ，并且确实有 $168^2 + 85 \cdot 168 + 2017$ $= 44521 = 211^2$ 。第二个方程组给出 $m = 71$ 和 $n = 27$ ，且 $27^2 + 85 \cdot 27 + 2017$ $= 5041 = 71^2$ 。

所求和为 $168 + 27 = 195$ 。

Suppose $n^2 + 85n + 2017 = m^2$ for a positive integer $m.$ Multiplying by $4$ and completing the square gives $(2n + 85)^2 + 843 = 4m^2,$ so $\begin{aligned} &(2m - 2n - 85)(2m + 2n + 85) \\ &= 843 = 3 \cdot 281, \end{aligned}$ where $281$ is prime. Both factors are positive with the second one larger, so either $2m - 2n - 85 = 1$ and $2m + 2n + 85 = 843,$ or $2m - 2n - 85 = 3$ and $2m + 2n + 85 = 281.$

The first system gives $m = 211$ and $n = 168,$ and indeed $168^2 + 85 \cdot 168 + 2017$ $= 44521 = 211^2.$ The second gives $m = 71$ and $n = 27,$ with $27^2 + 85 \cdot 27 + 2017$ $= 5041 = 71^2.$

The requested sum is $168 + 27 = 195.$

2017 AIME II 第 6 题

答案：195

难度评级：2450

解答：

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