Question

图像 $y = 3(x-h)^2 + j$ 和 $y = 2(x-h)^2 + k$ 的 $y$ 轴截距分别为 $2013$ 和 $2014$ ，并且每个图像都有两个正整数 $x$ 轴截距。求 $h$ 。

The graphs $y = 3(x-h)^2 + j$ and $y = 2(x-h)^2 + k$ have $y$ -intercepts of $2013$ and $2014,$ respectively, and each graph has two positive integer $x$ -intercepts. Find $h.$

答案

答案：36

知识点：二次方程韦达定理质因数分解

难度评级：2450

解答：

令 $x = 0$ ，得到 $3h^2 + j = 2013$ 和 $2h^2 + k = 2014$ 。展开后，第一个图像为 $y = 3x^2 - 6hx + 2013$ ，它的根是正整数，和为 $2h$ ，积为 $\frac{2013}{3} = 671 = 11 \cdot 61$ 。类似地，第二个图像为 $y = 2x^2 - 4hx + 2014$ ，其整数根的和为 $2h$ ，积为 $\frac{2014}{2} = 1007 = 19 \cdot 53$ 。

第一对根为 $\{11, 61\}$ 或 $\{1, 671\}$ ，所以 $2h = 72$ 或 $672$ ；第二对根为 $\{19, 53\}$ 或 $\{1, 1007\}$ ，所以 $2h = 72$ 或 $1008$ 。唯一共同值是 $2h = 72$ ，因此 $h = 36$ ，这确实给出 $x$ 轴截距 $11, 61$ 和 $19, 53$ 。

Setting $x = 0$ gives $3h^2 + j = 2013$ and $2h^2 + k = 2014.$ Expanding, the first graph is $y = 3x^2 - 6hx + 2013,$ whose roots are positive integers with sum $2h$ and product $\frac{2013}{3} = 671 = 11 \cdot 61.$ Similarly the second is $y = 2x^2 - 4hx + 2014,$ with integer roots of sum $2h$ and product $\frac{2014}{2} = 1007 = 19 \cdot 53.$

The first pair of roots is $\{11, 61\}$ or $\{1, 671\},$ so $2h = 72$ or $672;$ the second pair is $\{19, 53\}$ or $\{1, 1007\},$ so $2h = 72$ or $1008.$ The only common value is $2h = 72,$ so $h = 36,$ which indeed gives $x$ -intercepts $11, 61$ and $19, 53.$

2014 AIME I 第 6 题

答案：36

难度评级：2450

解答：

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